3e⏱ 50 minutes

Statistiques : quartiles et boîtes à moustaches — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

On a demandé à $30$ élèves combien de livres ils ont lus pendant le mois.

Nombre de livres	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Effectif	$4$	$6$	$9$	$5$	$3$	$3$

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On additionne progressivement les effectifs : $4$ ; $4 + 6 = 10$ ; $10 + 9 = 19$ ; $19 + 5 = 24$ ; $24 + 3 = 27$ ; $27 + 3 = 30$ (l'effectif total).
L'effectif cumulé croissant de la valeur $2$ est $19$ : $19$ élèves ont lu au plus $2$ livres.
L'effectif cumulé croissant de la valeur $3$ est $24$ : $\dfrac{24}{30} = 0{,}8$ , soit $80\,\%$ des élèves ont lu au plus $3$ livres.

Voici une série rangée de $11$ valeurs : $2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19$ .

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$N = 11$ et $\dfrac{11}{4} = 2{,}75$ , arrondi à $3$ : $Q_1$ est la $3^{\text{e}}$ valeur, donc $Q_1 = 5$ .
$\dfrac{3 \times 11}{4} = 8{,}25$ , arrondi à $9$ : $Q_3$ est la $9^{\text{e}}$ valeur, donc $Q_3 = 14$ . L'effectif $11$ est impair : la médiane est la $6^{\text{e}}$ valeur, soit $10$ .
Écart interquartile : $14 - 5 = 9$ . Étendue : $19 - 2 = 17$ .

On reprend la série de l'exercice 1 (les $30$ élèves et leurs livres lus).

Détermine $Q_1$ , la médiane et $Q_3$ . (2,5 points)
Quelles sont les cinq valeurs à placer pour construire la boîte à moustaches ? Décris le tracé. (1,5 point)

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Rang de $Q_1$ : $30 \div 4 = 7{,}5$ , arrondi à $8$ . Les effectifs cumulés sont $4, 10, 19, 24, 27, 30$ : le premier cumulé supérieur ou égal à $8$ est $10$ , pour la valeur $1$ : $Q_1 = 1$ . Médiane : $N = 30$ est pair, on prend les $15^{\text{e}}$ et $16^{\text{e}}$ valeurs ; toutes deux correspondent au cumulé $19$ , donc à la valeur $2$ : médiane $= 2$ . Rang de $Q_3$ : $3 \times 30 \div 4 = 22{,}5$ , arrondi à $23$ ; le premier cumulé supérieur ou égal à $23$ est $24$ , pour la valeur $3$ : $Q_3 = 3$ .
Les cinq valeurs sont : minimum $0$ , $Q_1 = 1$ , médiane $2$ , $Q_3 = 3$ , maximum $5$ . On trace sur une échelle graduée la boîte de $1$ à $3$ avec un trait à $2$ , puis une moustache de $0$ à $1$ et une autre de $3$ à $5$ .

Deux séries de temps de trajet (en minutes) ont pour résumés :

	Minimum	$Q_1$	Médiane	$Q_3$	Maximum
Série A	$10$	$12$	$15$	$18$	$30$
Série B	$9$	$13$	$15$	$23$	$24$

Calcule l'écart interquartile de chaque série. (1 point)
Calcule l'étendue de chaque série. (1 point)
Léo affirme : « La série A est plus dispersée que la série B, puisque son étendue est plus grande. » Discute cette affirmation à l'aide de l'écart interquartile. (2 points)

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Série A : $18 - 12 = 6$ . Série B : $23 - 13 = 10$ .
Série A : $30 - 10 = 20$ . Série B : $24 - 9 = 15$ .
L'affirmation de Léo n'est vraie que pour l'étendue : elle est plus grande pour la série A ( $20 > 15$ ), mais uniquement à cause de la valeur maximale $30$ , très éloignée des autres. L'écart interquartile, lui, est plus petit pour A ( $6 < 10$ ) : les valeurs centrales de A sont plus resserrées que celles de B. Les deux séries ont la même médiane ( $15$ ). On ne peut donc pas dire que A est plus dispersée que B : elle est plus regroupée au centre, avec une valeur extrême isolée.

Une série contient $40$ valeurs. On sait que $Q_1 = 12$ et $Q_3 = 20$ .

Quel est le rang de $Q_1$ ? Celui de $Q_3$ ? (1 point)
Complète : « Au moins ... valeurs sont inférieures ou égales à $12$ » et « Au moins ... valeurs sont inférieures ou égales à $20$ ». (1 point)
Anna affirme : « Exactement la moitié des valeurs se trouvent entre $12$ et $20$ . » Combien de valeurs, du rang de $Q_1$ au rang de $Q_3$ , se trouvent dans la boîte ? Que penser de l'affirmation d'Anna ? (2 points)

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Rang de $Q_1$ : $40 \div 4 = 10$ . Rang de $Q_3$ : $3 \times 40 \div 4 = 30$ .
Au moins $10$ valeurs sont inférieures ou égales à $12$ , et au moins $30$ valeurs sont inférieures ou égales à $20$ .
Du rang $10$ au rang $30$ inclus, il y a $30 - 10 + 1 = 21$ valeurs, soit $\dfrac{21}{40} = 52{,}5\,\%$ des données. L'affirmation d'Anna est donc inexacte : la boîte contient au moins la moitié des valeurs, pas exactement la moitié.