Puissances négatives et notation scientifique — Exercices d'application

Une puissance d’exposant négatif se définit par $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ : elle correspond à l’inverse de la puissance positive.

1. $10^{-2} = \dfrac{1}{10^2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.
2. $5^{-1} = \dfrac{1}{5^1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$.
3. Pour multiplier deux puissances de même base, on additionne les exposants, même lorsqu’ils sont négatifs : $2^3 \times 2^{-5} = 2^{3+(-5)} = 2^{-2}$. On calcule ensuite cette puissance négative : $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Pour diviser deux puissances de même base, on soustrait les exposants : $\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$.

1. $\dfrac{10^6}{10^2} = 10^{6-2} = 10^4$.
2. Ici l’exposant du dénominateur est plus grand que celui du numérateur, ce qui donnera un exposant négatif — c’est normal : $\dfrac{3^4}{3^7} = 3^{4-7} = 3^{-3}$.
3. On soustrait les exposants, en faisant bien attention au signe : $-2 - (-5) = -2 + 5 = 3$. Donc $\dfrac{10^{-2}}{10^{-5}} = 10^3$.

Pour écrire un nombre en notation scientifique $a \times 10^n$, on déplace la virgule pour qu’il ne reste qu’un seul chiffre non nul avant elle, et l’on compte de combien de rangs la virgule a été déplacée pour déterminer l’exposant $n$ (positif si la virgule recule, négatif si elle avance).

1. Dans $520\,000$, on déplace la virgule (implicitement après le dernier $0$) de $5$ rangs vers la gauche pour n’avoir qu’un chiffre avant elle : on obtient $5{,}2$, et la virgule ayant reculé de $5$ rangs, l’exposant est $+5$ : $520\,000 = 5{,}2 \times 10^5$.
2. Dans $0{,}00047$, on déplace la virgule de $4$ rangs vers la droite pour arriver juste après le premier chiffre non nul ($4$) : on obtient $4{,}7$, et la virgule ayant avancé de $4$ rangs, l’exposant est $-4$ : $0{,}00047 = 4{,}7 \times 10^{-4}$.
3. Le nombre $8{,}3$ a déjà un seul chiffre non nul avant la virgule, et ce chiffre ($8$) est bien compris entre $1$ et $10$ : la virgule n’a donc pas besoin d’être déplacée, ce qui correspond à un exposant nul : $8{,}3 = 8{,}3 \times 10^0$.

Pour calculer avec des nombres en notation scientifique, on traite séparément la partie décimale et la puissance de $10$.

1. On multiplie les parties décimales entre elles ($3 \times 2 = 6$) et l’on additionne les exposants ($4 + 3 = 7$) : $(3 \times 10^4) \times (2 \times 10^3) = 6 \times 10^7$. Comme $6$ est bien compris entre $1$ et $10$, ce résultat est déjà en notation scientifique correcte.
2. On divise les parties décimales entre elles ($8 \div 4 = 2$) et l’on soustrait les exposants ($6 - 2 = 4$) : $(8 \times 10^6) \div (4 \times 10^2) = 2 \times 10^4$.

1. Le préfixe « nano » correspond à $10^{-9}$ : $120$ nanomètres $= 120 \times 10^{-9}\,\text{m}$. On réécrit $120$ en notation scientifique ($120 = 1{,}2 \times 10^2$), puis on regroupe les puissances de $10$ : $1{,}2 \times 10^2 \times 10^{-9} = 1{,}2 \times 10^{-7}\,\text{m}$.
2. Le préfixe « giga » correspond à $10^9$ : $64$ gigaoctets $= 64 \times 10^9$ octets. En notation scientifique ($64 = 6{,}4 \times 10^1$) : $6{,}4 \times 10^1 \times 10^9 = 6{,}4 \times 10^{10}$ octets.
3. Le préfixe « méga » correspond à $10^6$ : $5$ mégaoctets par seconde $= 5 \times 10^6$ octets par seconde. En une minute ($60$ secondes), cela représente $5 \times 10^6 \times 60 = 300 \times 10^6$ octets. On réécrit en notation scientifique : $300 = 3 \times 10^2$, donc $300 \times 10^6 = 3 \times 10^2 \times 10^6 = 3 \times 10^8$ octets.

1. La longueur totale s’obtient en multipliant le diamètre d’un globule par leur nombre total : $(7 \times 10^{-6}) \times (2{,}5 \times 10^{13})$. On multiplie les parties décimales : $7 \times 2{,}5 = 17{,}5$. On additionne les exposants : $-6 + 13 = 7$. On obtient donc $17{,}5 \times 10^7$. Or ce nombre n’est pas encore en notation scientifique correcte, car $17{,}5$ n’est pas compris entre $1$ et $10$ : on le réécrit comme $1{,}75 \times 10^1$, ce qui donne finalement $1{,}75 \times 10^1 \times 10^7 = 1{,}75 \times 10^8\,\text{m}$.
2. Pour convertir des mètres en kilomètres, on divise par $10^3$, ce qui revient à soustraire $3$ à l’exposant : $1{,}75 \times 10^8\,\text{m} = 1{,}75 \times 10^5\,\text{km}$.
3. On compare les deux nombres, qui ont le même exposant $10^5$ : il suffit donc de comparer les parties décimales, $1{,}75$ et $3{,}84$. Comme $1{,}75 < 3{,}84$, on en déduit que $1{,}75 \times 10^5\,\text{km}$ est inférieur à $3{,}84 \times 10^5\,\text{km}$ : la longueur totale des globules rouges alignés d’une personne, bien qu’énorme à l’échelle humaine, reste donc inférieure à la distance Terre-Lune.