Puissances négatives et notation scientifique

1. Les puissances d’exposant négatif

Définition. Pour un nombre $a$ non nul et un entier positif $n$, on définit $$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$$

Exemple. $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$. De même, $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Propriété. La règle $a^n \times a^p = a^{n+p}$, déjà connue pour les exposants positifs, reste valable avec des exposants négatifs.

Exemple. $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3$.

Pourquoi cette définition ? Elle n’est pas choisie au hasard : elle est la seule qui rende la règle $a^n \times a^p = a^{n+p}$ vraie même quand $p$ est négatif. En effet, puisque $a^0 = 1$ (déjà vu en 4e), on doit avoir $a^n \times a^{-n} = a^{n+(-n)} = a^0 = 1$ : le nombre $a^{-n}$ est donc bien celui qui, multiplié par $a^n$, redonne $1$, c’est-à-dire $\dfrac{1}{a^n}$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Diviser des puissances

Propriété. Pour diviser deux puissances d’un même nombre, on soustrait les exposants : $\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$.

Exemple. $\dfrac{10^7}{10^4} = 10^{7-4} = 10^3$. De même, $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{2-5} = 10^{-3}$.

Astuce. Diviser par $a^p$ revient à multiplier par $a^{-p}$ : les règles de multiplication et de division des puissances sont donc les deux faces d’une même propriété.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. La notation scientifique

Définition. La notation scientifique d’un nombre décimal (non nul) est son écriture sous la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leqslant a < 10$, et $n$ est un entier relatif.

Exemple. $45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$ (la virgule a reculé de $4$ rangs). $0{,}0032 = 3{,}2 \times 10^{-3}$ (la virgule a avancé de $3$ rangs).

Astuce. La notation scientifique est très utile pour comparer rapidement des ordres de grandeur très différents, comme en astronomie ou en physique des particules.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Résoudre des problèmes avec la notation scientifique

Exemple. La masse du Soleil est environ $2 \times 10^{30}\,\text{kg}$, et celle de la Terre environ $6 \times 10^{24}\,\text{kg}$. Le rapport des deux masses est $\dfrac{2 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}} = \dfrac{2}{6} \times 10^{30-24} \approx 0{,}33 \times 10^6 = 3{,}3 \times 10^5$ : le Soleil est environ $330\,000$ fois plus massif que la Terre.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Les préfixes du système international

Définition. Dans la vie courante et les sciences, les puissances de $10$ sont souvent remplacées par des préfixes placés devant une unité : ils évitent d’écrire de trop grands ou de trop petits nombres.

Exemple. $1$ kilomètre $= 1 \times 10^3\,\text{m}$. $1$ nanomètre $= 1 \times 10^{-9}\,\text{m}$. Une clé USB de $64$ gigaoctets contient $64 \times 10^9$ octets.

Méthode. Pour convertir une valeur exprimée avec un préfixe vers l’unité de base, on remplace le préfixe par sa puissance de $10$, puis on réécrit le résultat en notation scientifique si besoin.

→ S’entraîner : Exercice 5