3e

Probabilités : événements et simulation — Exercices d'application

1. La relation entre réunion et intersection

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Exercice 1 — ⭐⭐

Dans une classe de $30$ élèves, $18$ pratiquent un sport, $12$ jouent d’un instrument de musique, et $6$ font les deux.

Calcule $P(\text{sport})$ et $P(\text{musique})$ (en interprétant l’effectif de la classe comme les issues d’une expérience « choisir un élève au hasard »).
Calcule $P(\text{sport et musique})$ .
Utilise la relation du cours pour calculer $P(\text{sport ou musique})$ .
Vérifie ce résultat en calculant directement le nombre d’élèves faisant du sport ou de la musique (ou les deux), puis en le divisant par l’effectif total.

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En considérant que choisir un élève au hasard dans la classe est une expérience équiprobable, chaque probabilité est le rapport entre l’effectif concerné et l’effectif total : $P(\text{sport}) = \dfrac{18}{30} = 0{,}6$ et $P(\text{musique}) = \dfrac{12}{30} = 0{,}4$ .
De la même façon, les $6$ élèves qui pratiquent les deux activités représentent l’intersection des deux événements : $P(\text{sport et musique}) = \dfrac{6}{30} = 0{,}2$ .
On applique la relation $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ , qui permet de ne pas compter deux fois les élèves faisant les deux activités : $P(\text{sport ou musique}) = 0{,}6 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}8$ .
Pour vérifier directement, on compte le nombre d’élèves concernés par le sport, la musique, ou les deux, sans compter deux fois ceux qui font les deux : $18 + 12 - 6 = 24$ élèves. En divisant par l’effectif total : $\dfrac{24}{30} = 0{,}8$ , ce qui correspond exactement au résultat trouvé à la question 3, confirmant le calcul. ✓

2. Simuler des expériences aléatoires indépendantes

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Exercice 2 — ⭐⭐

Explique pourquoi le résultat du deuxième lancer d’un dé est indépendant du premier.
Propose une méthode pour simuler, sur ordinateur, $1\,000$ tirages à pile ou face.
Pourquoi est-il plus pratique de simuler une expérience que de la réaliser matériellement un très grand nombre de fois ?

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Un dé n’a aucune mémoire de ses lancers précédents : sa physique (sa forme, son équilibre) reste exactement la même à chaque lancer, indépendamment du résultat obtenu la fois d’avant. Le deuxième lancer est donc une expérience totalement neuve, dont le résultat ne peut en rien être influencé par le premier.
On peut utiliser un outil informatique (tableur, calculatrice programmable) capable de générer des nombres aléatoires : il suffit de générer $1\,000$ nombres aléatoires valant $0$ ou $1$ avec la même probabilité chacun, en associant par exemple $0$ à Pile et $1$ à Face.
Réaliser matériellement des milliers, voire des millions de répétitions d’une expérience serait extrêmement long et fastidieux à la main. Une simulation informatique permet d’obtenir ce même grand nombre de résultats en quelques secondes, ce qui est indispensable pour observer correctement des phénomènes statistiques comme la stabilisation des fréquences.

3. La stabilisation des fréquences

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Un dé est-il équilibré ? Un élève le lance $600$ fois et obtient la face « $6$ » $115$ fois.

Calcule la fréquence observée d’obtenir un $6$ .
Quelle est la probabilité théorique d’obtenir un $6$ avec un dé équilibré ?
La fréquence observée est-elle proche de la probabilité théorique ? Que peux-tu en conclure prudemment sur ce dé (sans certitude absolue) ?
Si l’élève n’avait lancé le dé que $6$ fois et avait obtenu un $6$ deux fois, pourrait-il tirer la même conclusion ? Justifie.

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La fréquence observée est le rapport entre le nombre de succès et le nombre total d’essais : $\dfrac{115}{600} \approx 0{,}192$ .
Pour un dé équilibré à six faces, chaque face a la même probabilité de sortir : $P(\text{obtenir un } 6) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ .
En comparant les deux valeurs, $0{,}192$ et $0{,}167$ , on constate qu’elles sont relativement proches, avec un écart faible et compatible avec les fluctuations normales que le hasard peut produire même sur $600$ lancers. On peut donc supposer, prudemment, que ce dé est probablement équilibré — mais sans certitude absolue, car un léger déséquilibre pourrait aussi produire un tel résultat.
Non, il ne pourrait pas tirer la même conclusion avec seulement $6$ lancers. La fréquence observée serait alors $\dfrac{2}{6} \approx 0{,}33$ , très éloignée de la probabilité théorique $0{,}167$ — mais avec si peu de répétitions, cet écart n’est pas surprenant et ne permet absolument rien de conclure sur l’équilibre du dé. La loi des grands nombres, qui garantit un rapprochement entre fréquence observée et probabilité théorique, ne devient fiable qu’avec un nombre suffisamment important de répétitions.

4. Deux épreuves indépendantes : multiplier les probabilités

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Une roue est partagée en $4$ secteurs égaux (rouge, bleu, vert, jaune). On la fait tourner puis on lance un dé équilibré. Les deux épreuves sont indépendantes.

Calcule $P(\text{rouge puis un nombre pair})$ .
Calcule $P(\text{vert puis } 6)$ . Combien y a-t-il d’issues équiprobables au total ?
On lance deux dés. À l’aide d’un tableau à double entrée, calcule la probabilité que la somme soit égale à $9$ .
Calcule la probabilité d’obtenir au moins un $6$ avec deux dés, en passant par l’événement contraire « aucun $6$ ».

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La roue donne « rouge » avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$ , et le dé donne un nombre pair ( $2$ , $4$ ou $6$ ) avec la probabilité $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ . Les épreuves étant indépendantes, on multiplie : $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$ .
$P(\text{vert puis } 6) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{24}$ . Il y a $4 \times 6 = 24$ issues équiprobables, dont une seule convient : on retrouve bien $\dfrac{1}{24}$ .
Dans le tableau des $36$ sommes, celles égales à $9$ sont $3+6$ , $4+5$ , $5+4$ et $6+3$ : $4$ cases sur $36$ , donc $\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$ .
La probabilité de n’obtenir aucun $6$ est $\dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{36}$ . L’événement « au moins un $6$ » est son contraire : $1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$ . On peut le vérifier dans le tableau à double entrée : $11$ cases sur $36$ contiennent au moins un $6$ .