Probabilités : événements et simulation

1. La relation entre réunion et intersection

Propriété. Pour deux événements $A$ et $B$ d’une même expérience aléatoire : $$P(A \cup B) + P(A \cap B) = P(A) + P(B)$$

Méthode. Cette relation vient du fait que les issues de l’intersection $A \cap B$ sont comptées deux fois si l’on additionne simplement $P(A) + P(B)$ : la relation permet de corriger ce double comptage.

Exemple. On lance un dé. $A$ = « obtenir un nombre pair », $B$ = « obtenir un nombre supérieur à $4$ ». $P(A) = \dfrac{3}{6}$, $P(B) = \dfrac{2}{6}$, $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$ (seul le $6$ est à la fois pair et supérieur à $4$). On vérifie : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6}$.

Vocabulaire. La réunion $A \cup B$ signifie « $A$ ou $B$ » (l’un, l’autre, ou les deux) et l’intersection $A \cap B$ signifie « $A$ et $B$ » (les deux à la fois), comme dans le chapitre de 4e sur les probabilités. Deux événements sont incompatibles quand ils n’ont aucune issue en commun : alors $P(A \cap B) = 0$ et la relation devient simplement $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Simuler des expériences aléatoires indépendantes

Définition. Deux expériences (ou épreuves) sont indépendantes si le résultat de l’une n’influence en rien le résultat de l’autre.

Méthode. On peut simuler une expérience aléatoire, par exemple à l’aide d’un générateur de nombres aléatoires sur ordinateur ou sur calculatrice, pour reproduire rapidement un grand nombre de répétitions d’une expérience réelle, sans avoir à la réaliser matériellement à chaque fois.

Exemple. Pour simuler le lancer de deux dés, on peut demander à un ordinateur de générer deux nombres aléatoires entiers entre $1$ et $6$, de façon répétée, ce qui reproduit fidèlement la situation réelle sans avoir à lancer physiquement des dés des centaines de fois.

Avec un tableur. La formule =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) (=ALEATOIRE.ENTRE.BORNES(1;6) dans LibreOffice) simule un lancer de dé ; recopiée dans $1\,000$ cellules, elle simule $1\,000$ lancers. Pour la fréquence des « $6$ », on compte les cellules égales à $6$ avec =NB.SI(A1:A1000;6)/1000. Un tirage à pile ou face se simule avec =ALEA.ENTRE.BORNES(0;1).

→ S’entraîner : Exercice 2

3. La stabilisation des fréquences

Propriété. Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence observée d’un événement se rapproche de plus en plus de sa probabilité théorique : c’est la loi des grands nombres.

Exemple. En lançant une pièce équilibrée $10$ fois, on peut obtenir $7$ fois Pile (fréquence $0{,}7$, assez éloignée de la probabilité théorique $0{,}5$). Mais en répétant l’expérience $10\,000$ fois, la fréquence de Pile se rapprochera très probablement de $0{,}5$.

Observation sur une simulation. Deux séries de lancers d’une pièce équilibrée ont été simulées. Fréquence de Pile après $10$, $100$, $1\,000$ puis $10\,000$ lancers : série 1, $0{,}3$ ; $0{,}43$ ; $0{,}495$ ; $0{,}5122$ ; série 2, $0{,}4$ ; $0{,}51$ ; $0{,}534$ ; $0{,}5047$. Les fréquences fluctuent beaucoup au début, puis se resserrent autour de $0{,}5$.

Attention. La stabilisation des fréquences n’implique jamais qu’un résultat « manqué » doive forcément arriver bientôt pour « compenser » (par exemple, penser qu’après plusieurs Pile d’affilée, Face devient plus probable) : chaque nouveau lancer reste indépendant des précédents.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Deux épreuves indépendantes : multiplier les probabilités

Quand une expérience comporte deux épreuves indépendantes (deux lancers, une pièce puis un dé, un tirage avec remise…), on peut calculer la probabilité d’un résultat complet.

Propriété. Si deux épreuves sont indépendantes, la probabilité d’obtenir le résultat $a$ à la première épreuve puis le résultat $b$ à la seconde est le produit des deux probabilités : $$P(a \text{ puis } b) = P(a) \times P(b)$$ C’est exactement le calcul le long d’un chemin d’un arbre pondéré (voir le chapitre de 4e sur les probabilités).

Exemple. On lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré. Les deux épreuves sont indépendantes : $P(\text{Pile puis } 6) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12}$. On le vérifie en comptant : il y a $2 \times 6 = 12$ issues équiprobables, dont une seule convient.

Pour deux épreuves de même type, un tableau à double entrée liste toutes les issues. Chacune des $36$ issues de deux dés a pour probabilité $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$.

Attention. On additionne les probabilités pour un « ou » entre événements qui ne se recoupent pas (incompatibles) ; on multiplie pour un « puis » (ou un « et ») entre deux épreuves indépendantes. Ne pas confondre les deux.

→ S’entraîner : Exercice 4