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3e⏱ 50 minutes

Probabilités : événements et simulation — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Réunion et intersection

Dans un groupe de 4040 élèves, 2525 lisent des bandes dessinées, 1818 lisent des romans et 88 lisent les deux. On choisit un élève au hasard.

  1. Calcule P(BD)P(\text{BD}) et P(roman)P(\text{roman}). (1 point)
  2. Calcule P(BD et roman)P(\text{BD et roman}). (0,5 point)
  3. Utilise la relation du cours pour calculer P(BD ou roman)P(\text{BD ou roman}). (1,5 point)
  4. Vérifie ce résultat en calculant directement le nombre d'élèves qui lisent au moins un des deux types de livres. (1 point)
Voir le corrigé
  1. Le choix d'un élève est équiprobable : P(BD)=2540=0,625P(\text{BD}) = \dfrac{25}{40} = 0{,}625 et P(roman)=1840=0,45P(\text{roman}) = \dfrac{18}{40} = 0{,}45.
  2. P(BD et roman)=840=0,2P(\text{BD et roman}) = \dfrac{8}{40} = 0{,}2.
  3. P(BD ou roman)=0,625+0,45−0,2=0,875P(\text{BD ou roman}) = 0{,}625 + 0{,}45 - 0{,}2 = 0{,}875.
  4. Élèves qui lisent au moins un des deux types : 25+18−8=3525 + 18 - 8 = 35 (on ne compte pas deux fois ceux qui lisent les deux). Et 3540=0,875\dfrac{35}{40} = 0{,}875 : on retrouve le résultat de la question 3.

Exercice 2 (4 points) — Événements d'un lancer de dé

On lance un dé équilibré. AA : « obtenir un multiple de 33 », BB : « obtenir un nombre impair », CC : « obtenir 44 ».

  1. Écris la liste des issues de AA, de BB et de A∩BA \cap B. (1 point)
  2. Calcule P(A∪B)P(A \cup B) avec la relation du cours. (1,5 point)
  3. Les événements AA et CC sont-ils incompatibles ? Calcule alors P(A∪C)P(A \cup C). (1,5 point)
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  1. A={3,6}A = \{3, 6\}, B={1,3,5}B = \{1, 3, 5\} et A∩B={3}A \cap B = \{3\}.
  2. P(A)=26P(A) = \dfrac{2}{6}, P(B)=36P(B) = \dfrac{3}{6}, P(A∩B)=16P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}, donc P(A∪B)=26+36−16=46=23P(A \cup B) = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}. On peut le vérifier : A∪B={1,3,5,6}A \cup B = \{1, 3, 5, 6\} compte 44 issues.
  3. C={4}C = \{4\} et A={3,6}A = \{3, 6\} n'ont aucune issue en commun : ils sont incompatibles, donc P(A∩C)=0P(A \cap C) = 0 et P(A∪C)=26+16=36=12P(A \cup C) = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.

Exercice 3 (4 points) — Simulation et fréquences

  1. Quelle formule de tableur permet de simuler un lancer de dé équilibré ? (1 point)
  2. Un élève simule 500500 lancers et obtient 9696 fois la face « 66 ». Calcule la fréquence observée, compare-la à la probabilité théorique, et conclus prudemment. (2 points)
  3. Un autre élève n'a simulé que 1212 lancers. Pourquoi sa fréquence est-elle moins fiable ? (1 point)
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  1. =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) (ou =ALEATOIRE.ENTRE.BORNES(1;6) dans LibreOffice).
  2. Fréquence observée : 96500=0,192\dfrac{96}{500} = 0{,}192. Probabilité théorique : 16≈0,167\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167. L'écart est d'environ 0,0250{,}025, assez faible pour 500500 lancers : on peut penser, prudemment et sans certitude absolue, que le dé est équilibré.
  3. Avec seulement 1212 lancers, la fréquence fluctue beaucoup d'une série à l'autre : elle ne se rapproche de la probabilité théorique de façon fiable que pour un grand nombre de répétitions.

Exercice 4 (4 points) — Deux épreuves indépendantes

Un sac contient 22 boules rouges et 33 boules bleues. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une seconde boule.

  1. Pourquoi les deux tirages sont-ils indépendants ? (0,5 point)
  2. Calcule P(rouge puis rouge)P(\text{rouge puis rouge}) et P(bleue puis bleue)P(\text{bleue puis bleue}). (1,5 point)
  3. Calcule la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes. (2 points)
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  1. On remet la boule avant le second tirage : la composition du sac est la même aux deux tirages, donc le premier résultat n'influence pas le second.
  2. P(rouge puis rouge)=25×25=425P(\text{rouge puis rouge}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25} et P(bleue puis bleue)=35×35=925P(\text{bleue puis bleue}) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}.
  3. Deux couleurs différentes : « rouge puis bleue » ou « bleue puis rouge », deux événements incompatibles qui valent chacun 25×35=625\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{25}. On additionne : 625+625=1225\dfrac{6}{25} + \dfrac{6}{25} = \dfrac{12}{25}. Contrôle : 425+925+1225=1\dfrac{4}{25} + \dfrac{9}{25} + \dfrac{12}{25} = 1.

Exercice 5 (4 points) — Idées reçues

Léa lance une pièce équilibrée 2020 fois et obtient 1414 fois Pile.

  1. Calcule la fréquence observée de Pile. (1 point)
  2. Cela remet-il en cause l'équilibre de la pièce ? Justifie avec le nombre de lancers. (1,5 point)
  3. Léa vient d'obtenir cinq Pile d'affilée. Elle affirme : « Au prochain lancer, Face est plus probable pour compenser. » A-t-elle raison ? (1,5 point)
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  1. 1420=0,7\dfrac{14}{20} = 0{,}7.
  2. Non : avec seulement 2020 lancers, une fréquence de 0,70{,}7 n'est pas surprenante et ne permet pas de conclure ; la stabilisation des fréquences ne se constate que sur un grand nombre de lancers.
  3. Non. Les lancers sont indépendants : la pièce n'a pas de mémoire, et la probabilité d'obtenir Face reste 12\dfrac{1}{2} au prochain lancer, quels que soient les résultats précédents.