Multiples, diviseurs et PGCD — Exercices d'application

Pour décomposer un nombre, on le divise successivement par le plus petit nombre premier possible (en commençant par $2$), jusqu’à obtenir un quotient égal à $1$.

1. $36$ est pair, on divise par $2$ : $36 \div 2 = 18$. On divise encore par $2$ : $18 \div 2 = 9$. Ce n’est plus divisible par $2$ (impair), mais $9$ est divisible par $3$ : $9 \div 3 = 3$, puis $3 \div 3 = 1$. On a donc divisé deux fois par $2$ et deux fois par $3$ : $36 = 2^2 \times 3^2$.
2. $90 \div 2 = 45$. $45$ n’est plus divisible par $2$, mais par $3$ : $45 \div 3 = 15$, puis $15 \div 3 = 5$, puis $5 \div 5 = 1$. On a divisé une fois par $2$, deux fois par $3$, et une fois par $5$ : $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.
3. $126 \div 2 = 63$. $63$ n’est plus divisible par $2$, mais par $3$ : $63 \div 3 = 21$, puis $21 \div 3 = 7$, puis $7 \div 7 = 1$. On a divisé une fois par $2$, deux fois par $3$, et une fois par $7$ : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.

Pour déterminer un PGCD à partir des décompositions en facteurs premiers, on repère les facteurs premiers communs aux deux nombres, en ne gardant que le plus petit exposant commun pour chacun, puis on les multiplie entre eux.

1. D’après les décompositions trouvées à l’exercice précédent : $36 = 2^2 \times 3^2$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$. Le facteur $2$ est présent avec l’exposant $2$ dans le premier nombre mais seulement $1$ dans le second : on garde le plus petit, $2^1$. Le facteur $3$ est présent avec l’exposant $2$ dans les deux : on garde $3^2$. Le facteur $5$ n’est présent que dans $90$, on ne le garde donc pas. Le PGCD est donc $2 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$.
2. On décompose d’abord ces deux nombres : $48 = 2^4 \times 3$ et $18 = 2 \times 3^2$. Le facteur $2$ apparaît avec l’exposant $4$ dans le premier et $1$ dans le second : on garde le plus petit, $2^1$. Le facteur $3$ apparaît avec l’exposant $1$ dans le premier et $2$ dans le second : on garde le plus petit, $3^1$. Le PGCD est donc $2 \times 3 = 6$.
3. On décompose : $35 = 5 \times 7$ et $54 = 2 \times 3^3$. Ces deux décompositions n’ont aucun facteur premier en commun, donc leur PGCD vaut $1$ : $35$ et $54$ sont bien premiers entre eux.

1. On décompose les deux nombres : $48 = 2^4 \times 3$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. Les facteurs communs sont $2^2$ (le plus petit exposant commun pour le facteur $2$) et $3^1$ : PGCD $= 4 \times 3 = 12$. En divisant directement le numérateur et le dénominateur par ce PGCD, on obtient la forme irréductible en une seule étape : $\dfrac{48}{84} = \dfrac{48 \div 12}{84 \div 12} = \dfrac{4}{7}$.
2. On décompose : $63 = 3^2 \times 7$ et $105 = 3 \times 5 \times 7$. Les facteurs communs sont $3^1$ et $7^1$ : PGCD $= 3 \times 7 = 21$. En divisant par ce PGCD : $\dfrac{63}{105} = \dfrac{63 \div 21}{105 \div 21} = \dfrac{3}{5}$.

1. Le critère de divisibilité par $3$ (et par $9$) repose sur la somme des chiffres du nombre. Pour $483$ : $4 + 8 + 3 = 15$. Comme $15$ est divisible par $3$ (car $15 = 3 \times 5$) mais pas par $9$ (car $15 \div 9$ n’est pas entier), on en déduit que $483$ est divisible par $3$ mais pas par $9$.
2. La divisibilité par $2$ et par $5$ dépend uniquement du dernier chiffre : $2\,340$ se termine par $0$, qui convient pour les deux critères, donc $2\,340$ est divisible à la fois par $2$ et par $5$. Pour la divisibilité par $9$, on calcule la somme des chiffres : $2 + 3 + 4 + 0 = 9$, qui est bien divisible par $9$ : $2\,340$ est donc aussi divisible par $9$.
3. On calcule d’abord la somme des chiffres déjà connus : $5 + 7 = 12$. Pour que $57\square$ soit divisible par $3$, il faut que la somme totale des chiffres, $12 + \square$, soit elle-même divisible par $3$. Comme $12$ est déjà divisible par $3$ (car $12 = 3 \times 4$), il suffit d’ajouter un chiffre qui ne perturbe pas cette divisibilité : le plus petit chiffre possible est donc $\square = 0$, puisque $12 + 0 = 12$ reste divisible par $3$.

1. Chercher le plus grand nombre de lots identiques (sans reste) à partir de deux quantités différentes revient exactement à chercher leur PGCD : c’est par définition le plus grand nombre qui divise à la fois $84$ et $126$.
2. On décompose les deux nombres en facteurs premiers : $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$. Les facteurs communs, avec le plus petit exposant partagé, sont $2^1$, $3^1$ et $7^1$ : PGCD $= 2 \times 3 \times 7 = 42$. Le traiteur peut donc prévoir au maximum $42$ tables.
3. Pour connaître le contenu de chaque table, on divise chaque quantité totale par le nombre de tables trouvé : parts de gâteau par table, $84 \div 42 = 2$ ; mini-sandwichs par table, $126 \div 42 = 3$.
4. On multiplie chaque quantité par table par le nombre de tables pour vérifier que l’on retombe bien sur les quantités de départ : $42 \times 2 = 84$ parts de gâteau, et $42 \times 3 = 126$ mini-sandwichs. Les deux totaux correspondent exactement aux quantités annoncées. ✓