Multiples, diviseurs et PGCD

1. Décomposer un nombre en facteurs premiers

Définition. Un nombre premier est un nombre entier supérieur à $1$ qui n’a exactement que deux diviseurs : $1$ et lui-même. La décomposition en facteurs premiers d’un nombre est son écriture comme un produit de nombres premiers.

Exemple. Décomposons $60$. $60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$. Donc $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Déterminer le PGCD de deux nombres

Définition. Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres entiers est le plus grand nombre qui divise à la fois les deux.

Exemple. Déterminons le PGCD de $60$ et $84$. $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. Les facteurs communs sont $2^2$ et $3$ : PGCD $= 2^2 \times 3 = 12$.

Vocabulaire. Lorsque le PGCD de deux nombres vaut $1$, on dit qu’ils sont premiers entre eux : ils n’ont alors aucun diviseur commun autre que $1$, même s’ils ne sont pas premiers eux-mêmes individuellement. Par exemple, $20$ et $63$ sont premiers entre eux (PGCD$(20, 63) = 1$), bien qu’aucun des deux ne soit un nombre premier. C’est exactement cette condition qui rend une fraction irréductible (vue au chapitre précédent) : une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible si et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Utiliser le PGCD pour simplifier une fraction

Propriété. Diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD donne directement la fraction sous sa forme irréductible, en une seule étape.

Exemple. Simplifions $\dfrac{60}{84}$. On a calculé PGCD$(60, 84) = 12$. Donc $\dfrac{60}{84} = \dfrac{60 \div 12}{84 \div 12} = \dfrac{5}{7}$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Les critères de divisibilité

Propriété. Quelques critères permettent de savoir rapidement si un nombre est divisible par un autre, sans effectuer la division :

• un nombre est divisible par $2$ si son chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$ ;
• un nombre est divisible par $5$ si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
• un nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
• un nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.

Exemple. $342$ est divisible par $3$, car $3 + 4 + 2 = 9$, qui est divisible par $3$ (et même par $9$, donc $342$ est aussi divisible par $9$).

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Résoudre des problèmes de répartition avec le PGCD

Exemple. Une fleuriste veut répartir $36$ roses et $24$ tulipes en bouquets identiques (même nombre de chaque fleur dans chaque bouquet), sans qu’il ne reste de fleurs, et en utilisant le plus grand nombre de bouquets possible. On calcule PGCD$(36, 24) = 12$ : elle peut donc former $12$ bouquets identiques, avec $36 \div 12 = 3$ roses et $24 \div 12 = 2$ tulipes par bouquet.

→ S’entraîner : Exercice 5