3e⏱ 50 minutes

Multiples, diviseurs et PGCD — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Décomposer en facteurs premiers

Décompose les nombres suivants en produit de facteurs premiers.

$72$ (2 points)
$150$ (2 points)

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$72 \div 2 = 36$ , $36 \div 2 = 18$ , $18 \div 2 = 9$ , $9 \div 3 = 3$ , $3 \div 3 = 1$ . On a divisé trois fois par $2$ et deux fois par $3$ : $72 = 2^3 \times 3^2$ .
$150 \div 2 = 75$ . $75$ n'est plus divisible par $2$ , mais par $3$ : $75 \div 3 = 25$ , puis $25 \div 5 = 5$ , puis $5 \div 5 = 1$ . On a divisé une fois par $2$ , une fois par $3$ , et deux fois par $5$ : $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ .

Exercice 2 (4 points) — PGCD et nombres premiers entre eux

Détermine le PGCD de $72$ et $120$ à l'aide de leurs décompositions. (2 points)
Les nombres $28$ et $45$ sont-ils premiers entre eux ? Justifie. (2 points)

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D'après les décompositions : $72 = 2^3 \times 3^2$ et $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ . Le facteur $2$ est présent avec l'exposant $3$ dans les deux : on garde $2^3$ . Le facteur $3$ est présent avec l'exposant $2$ dans le premier et $1$ dans le second : on garde le plus petit, $3^1$ . Le facteur $5$ n'est présent que dans $120$ . Le PGCD est donc $2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24$ .
On décompose : $28 = 2^2 \times 7$ et $45 = 3^2 \times 5$ . Ces deux décompositions n'ont aucun facteur premier commun : leur PGCD vaut $1$ , donc $28$ et $45$ sont bien premiers entre eux.

Exercice 3 (4 points) — Utiliser le PGCD pour simplifier une fraction

Calcule le PGCD de $72$ et $120$ (déjà trouvé à l'exercice 2), puis simplifie $\dfrac{72}{120}$ en une seule étape.

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On a trouvé PGCD $(72, 120) = 24$ à l'exercice précédent. En divisant directement le numérateur et le dénominateur par ce PGCD, on obtient la forme irréductible en une seule étape : $\dfrac{72}{120} = \dfrac{72 \div 24}{120 \div 24} = \dfrac{3}{5}$ .

Exercice 4 (4 points) — Les critères de divisibilité

Le nombre $576$ est-il divisible par $2$ ? Par $3$ ? Par $9$ ? (2 points)
Le nombre $4\,185$ est-il divisible par $2$ ? Par $3$ ? Par $5$ ? Par $9$ ? (2 points)

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$576$ se termine par $6$ , qui est pair : $576$ est divisible par $2$ . La somme de ses chiffres est $5 + 7 + 6 = 18$ , qui est divisible à la fois par $3$ (car $18 = 3 \times 6$ ) et par $9$ (car $18 = 9 \times 2$ ) : $576$ est donc divisible par $3$ et par $9$ .
$4\,185$ se termine par $5$ (impair) : il n'est pas divisible par $2$ , mais il l'est par $5$ (chiffre des unités $0$ ou $5$ ). La somme de ses chiffres est $4 + 1 + 8 + 5 = 18$ , divisible à la fois par $3$ et par $9$ (comme ci-dessus) : $4\,185$ est donc divisible par $3$ , par $5$ et par $9$ , mais pas par $2$ .

Exercice 5 (4 points) — Problème de répartition avec le PGCD

Un boulanger doit répartir $90$ croissants et $135$ pains au chocolat dans des cartons identiques, sans qu'il ne reste aucune viennoiserie, et en utilisant le plus grand nombre de cartons possible.

Quel calcul permet de déterminer le nombre maximal de cartons ? Effectue-le. (2 points)
Calcule le nombre de croissants et de pains au chocolat par carton. (2 points)

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Répartir deux quantités en un maximum de lots identiques sans reste revient à calculer leur PGCD. On décompose : $90 = 2 \times 3^2 \times 5$ et $135 = 3^3 \times 5$ . Les facteurs communs, avec le plus petit exposant partagé, sont $3^2$ et $5^1$ : PGCD $= 9 \times 5 = 45$ . Le boulanger peut donc prévoir au maximum $45$ cartons.
On divise chaque quantité totale par le nombre de cartons trouvé : croissants par carton, $90 \div 45 = 2$ ; pains au chocolat par carton, $135 \div 45 = 3$ . Vérification : $45 \times 2 = 90$ croissants et $45 \times 3 = 135$ pains au chocolat, ce qui correspond bien aux quantités de départ. ✓