Inéquations du premier degré — Exercices d'application

Pour vérifier si un nombre est solution d’une inéquation, on le substitue à la place de l’inconnue et l’on vérifie si l’inégalité obtenue est vraie.

1. En remplaçant $x$ par $6$ : $2 \times 6 - 5 = 12 - 5 = 7$. Comme $7 < 10$ est vrai, $x = 6$ est bien solution de l’inéquation.
2. En remplaçant $x$ par $10$ : $2 \times 10 - 5 = 20 - 5 = 15$. Comme $15 < 10$ est faux, $x = 10$ n’est pas solution de l’inéquation.
3. Il suffit de proposer un nombre suffisamment petit (très négatif) pour que l’inégalité échoue. Par exemple, pour $x = -10$ : $-10 + 4 = -6$, et $-6 \geqslant 1$ est faux : $-10$ n’est donc pas solution.

On isole progressivement $x$ comme pour une équation, en appliquant la même opération aux deux côtés — en gardant à l’esprit la règle essentielle : diviser ou multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

1. On soustrait $3$ des deux côtés : $2x \leqslant 8$. On divise par $2$, qui est positif, donc le sens de l’inégalité ne change pas : $x \leqslant 4$.
2. On soustrait $6$ des deux côtés : $-3x > -6$. On divise par $-3$, qui est négatif : le sens de l’inégalité s’inverse, donc $x < 2$.
3. On ajoute $2$ des deux côtés : $-5x \geqslant 20$. On divise par $-5$, négatif : le sens s’inverse, donc $x \leqslant -4$.

1. On développe : $5x + 5 \geqslant 3x + 13$. On regroupe les $x$ à gauche et les nombres à droite : $5x - 3x \geqslant 13 - 5$, soit $2x \geqslant 8$. On divise par $2$, positif, le sens ne change pas : $x \geqslant 4$.
2. On regroupe les $x$ à gauche et les nombres à droite : $3x - 7x < 8 + 4$, soit $-4x < 12$. On divise par $-4$, qui est négatif : le sens s’inverse, donc $x > -3$.

1. Les solutions de $x < 3$ sont tous les nombres strictement inférieurs à $3$ : on trace donc un trait épais qui part de $3$ et s’étend vers la gauche, à l’infini. Comme $3$ lui-même n’est pas solution (inégalité stricte), on marque un crochet ouvert à cet endroit.
2. Les solutions de $x \geqslant -2$ sont tous les nombres supérieurs ou égaux à $-2$ : on trace un trait épais qui part de $-2$ et s’étend vers la droite, à l’infini. Comme $-2$ est lui-même solution (inégalité large), on marque un crochet fermé à cet endroit.
3. Non, $3$ ne fait pas partie des solutions de $x < 3$, puisque l’inégalité est stricte (elle exclut l’égalité). Cette exclusion se traduit sur la droite graduée par un crochet ouvert au niveau de $3$, signalant que ce point précis n’appartient pas à l’ensemble des solutions, contrairement à un crochet fermé qui l’inclurait.

1. La salle A facture un montant fixe, sans lien avec le nombre de séances : $C_A = 30$. La salle B facture un montant fixe de $10$ € plus $4$ € par séance : $C_B = 4n + 10$.
2. On cherche pour quelles valeurs de $n$ la salle B revient moins cher que la salle A, soit $C_B < C_A$ : $4n + 10 < 30$. On soustrait $10$ des deux côtés : $4n < 20$. On divise par $4$, qui est positif, le sens ne change pas : $n < 5$. La salle B est donc plus avantageuse tant que le nombre de séances reste strictement inférieur à $5$ ; au-delà (à partir de $5$ séances), c’est la salle A qui devient la plus avantageuse.
3. On calcule les deux coûts pour $n = 6$ : $C_B = 4 \times 6 + 10 = 24 + 10 = 34$ €, tandis que $C_A = 30$ €. Comme $30 < 34$, la salle A est plus avantageuse pour ce client, ce qui est cohérent avec le résultat de la question précédente ($6$ étant supérieur au seuil de $5$ trouvé).
4. Les solutions $n < 5$ se représentent sur une droite graduée par un trait épais partant de $5$ (avec un crochet ouvert, puisque l’inégalité est stricte) et s’étendant vers la gauche. Dans ce contexte concret, seules les valeurs entières positives de $n$ ont un sens réel (on ne fait pas un nombre négatif ou fractionnaire de séances), donc les valeurs pertinentes à retenir sont $n = 0, 1, 2, 3, 4$.