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Inéquations du premier degré

Ce que tu vas apprendre

Comprendre ce qu'est une inéquation et ce que signifie la résoudre
Résoudre analytiquement une inéquation du type ax ⩾ b
Résoudre une inéquation nécessitant de développer ou de regrouper l'inconnue des deux côtés
Représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée
Résoudre graphiquement une inéquation à l'aide de deux représentations

Notions clésinéquation, solutionsens de l'inégalitéregrouper les termesreprésentation des solutions

1. Qu’est-ce qu’une inéquation ?

Définition. Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. La résoudre, c’est trouver l’ensemble de toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent cette inégalité vraie.

Exemple. L’inéquation $x + 3 > 8$ a pour solutions tous les nombres $x$ strictement supérieurs à $5$ , car $x + 3 > 8$ équivaut à $x > 5$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Résoudre une inéquation

📋 Méthode — Résoudre une inéquation du type ax + b ⩾ c

Isoler le terme contenant $x$ , en ajoutant ou soustrayant un même nombre des deux côtés (le sens de l’inégalité ne change pas).
Diviser les deux côtés par le coefficient $a$ de $x$ .
Attention : si l’on divise (ou multiplie) les deux côtés par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l’inégalité.

Exemple. Résolvons $3x - 5 \geqslant 10$ . On ajoute $5$ : $3x \geqslant 15$ . On divise par $3$ (positif, le sens reste inchangé) : $x \geqslant 5$ .

Exemple. Résolvons $-2x + 4 > 0$ . On soustrait $4$ : $-2x > -4$ . On divise par $-2$ (négatif : le sens s’inverse) : $x < 2$ .

Attention. Cette règle du changement de sens en cas de multiplication ou division par un nombre négatif est la principale source d’erreur sur les inéquations : il faut y penser systématiquement.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Résoudre une inéquation avec parenthèses ou l’inconnue des deux côtés

Une inéquation n’est pas toujours donnée directement sous la forme $ax + b \geqslant c$ : il faut parfois développer une expression, ou regrouper les termes en $x$ d’un côté et les nombres de l’autre, avant d’appliquer la méthode de la section précédente.

📋 Méthode — Développer et regrouper avant de résoudre

Développer les parenthèses, s’il y en a.
Regrouper tous les termes contenant $x$ d’un même côté de l’inégalité, et tous les nombres de l’autre côté (en ajoutant ou soustrayant, ce qui ne change pas le sens).
Diviser par le coefficient obtenu devant $x$ — en pensant à inverser le sens si ce coefficient est négatif (voir la section précédente).

Exemple (parenthèses). Résolvons $3(x+2) \geqslant 2x+1$ . On développe : $3x + 6 \geqslant 2x + 1$ . On regroupe les $x$ à gauche et les nombres à droite : $3x - 2x \geqslant 1 - 6$ , soit $x \geqslant -5$ .

Exemple ( $x$ des deux côtés). Résolvons $2x + 7 > 5x - 2$ . On regroupe les termes en $x$ à gauche et les nombres à droite : $2x - 5x > -2 - 7$ , soit $-3x > -9$ . On divise par $-3$ , qui est négatif : on applique la règle de la section 2, le sens s’inverse, donc $x < 3$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Représenter les solutions sur une droite graduée

Méthode. L’ensemble des solutions d’une inéquation du premier degré est toujours une demi-droite, que l’on représente sur une droite graduée par un trait épais, avec un crochet ouvert (solution stricte, $<$ ou $>$ ) ou fermé (solution large, $\leqslant$ ou $\geqslant$ ) à son extrémité.

Exemple. Les solutions de $x \geqslant 5$ se représentent par un trait épais partant de $5$ (crochet fermé, car $5$ est solution) et allant vers la droite, à l’infini.

Deux exemples de représentation des solutions sur une droite graduée : crochet ouvert pour une inégalité stricte, crochet fermé pour une inégalité large.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Résoudre graphiquement une inéquation

Méthode. On peut aussi résoudre une inéquation graphiquement, en comparant les représentations graphiques de deux fonctions : les solutions correspondent aux valeurs de $x$ pour lesquelles une courbe est au-dessus (ou en dessous) de l’autre.

Exemple. Pour résoudre $2x + 1 \leqslant x + 5$ graphiquement, on trace les droites $y = 2x + 1$ et $y = x + 5$ , puis on cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles la première droite reste en dessous de la seconde.

→ S’entraîner : Exercice 5