3e⏱ 50 minutes

Inéquations du premier degré — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Résoudre une inéquation simple

Résous les inéquations suivantes.

$4x - 7 \leqslant 9$ (2 points)
$-2x + 5 > 13$ (2 points)

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On ajoute $7$ des deux côtés : $4x \leqslant 16$ . On divise par $4$ , positif, le sens ne change pas : $x \leqslant 4$ .
On soustrait $5$ des deux côtés : $-2x > 8$ . On divise par $-2$ , qui est négatif : le sens s'inverse, donc $x < -4$ .

Exercice 2 (4 points) — Développer et regrouper avant de résoudre

Résous les inéquations suivantes.

$4(x+3) \geqslant 2x + 18$ (2 points)
$6x - 1 < 2x + 15$ (2 points)

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On développe : $4x + 12 \geqslant 2x + 18$ . On regroupe les $x$ à gauche et les nombres à droite : $4x - 2x \geqslant 18 - 12$ , soit $2x \geqslant 6$ . On divise par $2$ , positif : $x \geqslant 3$ .
On regroupe les $x$ à gauche et les nombres à droite : $6x - 2x < 15 + 1$ , soit $4x < 16$ . On divise par $4$ , positif : $x < 4$ .

Exercice 3 (4 points) — Représenter les solutions

Représente sur une droite graduée les solutions de $x \leqslant 4$ . (1 point)
Représente sur une droite graduée les solutions de $x > -1$ . (1 point)
Le nombre $-1$ fait-il partie des solutions de $x > -1$ ? Justifie ta réponse et indique comment cela se traduit sur la représentation graphique. (2 points)

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Les solutions de $x \leqslant 4$ sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $4$ : on trace un trait épais partant de $4$ et s'étendant vers la gauche, avec un crochet fermé en $4$ (puisque $4$ est solution).
Les solutions de $x > -1$ sont tous les nombres strictement supérieurs à $-1$ : on trace un trait épais partant de $-1$ et s'étendant vers la droite, avec un crochet ouvert en $-1$ (puisque $-1$ n'est pas solution).
Non, $-1$ ne fait pas partie des solutions de $x > -1$ , car l'inégalité est stricte (elle exclut l'égalité). Cela se traduit sur la droite graduée par un crochet ouvert au niveau de $-1$ : ce point est représenté, mais il n'appartient pas à l'ensemble des solutions.

Exercice 4 (4 points) — Problème

Deux opérateurs internet proposent des forfaits différents. L'opérateur A facture un abonnement fixe de $42$ € par mois, quelle que soit la consommation. L'opérateur B facture $12$ € par mois, plus $5$ € par Go consommé.

Exprime le coût mensuel $C_A$ de l'opérateur A, et le coût mensuel $C_B$ de l'opérateur B, en fonction du nombre de Go consommés $n$ . (1 point)
Résous l'inéquation $C_B < C_A$ pour déterminer à partir de combien de Go l'opérateur A devient plus avantageux que l'opérateur B. (2 points)
Un client consomme $8$ Go par mois. Quel opérateur devrait-il choisir ? Justifie en comparant les deux coûts pour $n = 8$ . (1 point)

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L'opérateur A facture un montant fixe, indépendant de la consommation : $C_A = 42$ . L'opérateur B facture un montant fixe de $12$ € plus $5$ € par Go : $C_B = 5n + 12$ .
On cherche pour quelles valeurs de $n$ l'opérateur B revient moins cher, soit $C_B < C_A$ : $5n + 12 < 42$ . On soustrait $12$ des deux côtés : $5n < 30$ . On divise par $5$ , positif : $n < 6$ . L'opérateur B est donc plus avantageux tant que la consommation reste strictement inférieure à $6$ Go ; à partir de $6$ Go, c'est l'opérateur A qui devient le plus avantageux (à exactement $6$ Go, les deux coûts sont égaux : $5 \times 6 + 12 = 42 = C_A$ ).
Pour $n = 8$ : $C_B = 5 \times 8 + 12 = 40 + 12 = 52$ €, tandis que $C_A = 42$ €. Comme $42 < 52$ , l'opérateur A est plus avantageux, ce qui est cohérent avec le résultat de la question précédente ( $8$ étant supérieur au seuil de $6$ trouvé).

Exercice 5 (4 points) — Résolution graphique

On considère les deux droites d'équations $y = 3x - 2$ et $y = x + 6$ .

Résous algébriquement l'inéquation $3x - 2 > x + 6$ . (2 points)
En une phrase, explique ce que représentent ces solutions du point de vue des deux droites (positions relatives des deux droites). (2 points)

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On regroupe les $x$ à gauche et les nombres à droite : $3x - x > 6 + 2$ , soit $2x > 8$ . On divise par $2$ , positif : $x > 4$ .
Ces solutions ( $x > 4$ ) sont les valeurs de $x$ pour lesquelles la droite $y = 3x - 2$ se trouve au-dessus de la droite $y = x + 6$ (les deux droites se croisent en $x = 4$ , et la première droite dépasse la seconde à droite de ce point).