Identités remarquables — Exercices d'application

On applique l’identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ à chaque expression, en identifiant d’abord $a$ et $b$.

1. Ici $a = x$ et $b = 3$ : $(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
2. Ici $a = x$ et $b = 8$ : $(x+8)^2 = x^2 + 2 \times x \times 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64$.
3. Ici $a = 2x$ et $b = 1$ (attention, $a$ n’est pas simplement $x$) : $(2x+1)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

On applique cette fois l’identité $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, en n’oubliant pas le signe négatif devant le double produit.

1. Ici $a = x$ et $b = 6$ : $(x-6)^2 = x^2 - 2 \times x \times 6 + 6^2 = x^2 - 12x + 36$.
2. Ici $a = x$ et $b = 9$ : $(x-9)^2 = x^2 - 2 \times x \times 9 + 9^2 = x^2 - 18x + 81$.
3. Ici $a = 3x$ et $b = 2$ : $(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

1. On reconnaît la forme $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, avec $a = x$ et $b = 8$ : $(x-8)(x+8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$.
2. Pour factoriser, on utilise l’identité dans l’autre sens : il faut d’abord repérer que $x^2 - 100$ est bien une différence de deux carrés, avec $100 = 10^2$. On applique alors $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = x$ et $b = 10$ : $x^2 - 100 = (x-10)(x+10)$.
3. On repère de la même façon que $4x^2 = (2x)^2$ et $9 = 3^2$ : il s’agit bien d’une différence de deux carrés, avec $a = 2x$ et $b = 3$. On factorise : $4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$.

Pour factoriser avec une identité remarquable, il faut d’abord reconnaître la forme de l’expression (trois termes avec un double produit central, ou une différence de deux carrés), puis identifier les valeurs de $a$ et $b$ correspondantes.

1. On repère que $49 = 7^2$, et l’on vérifie que le terme du milieu correspond bien à $2ab$ avec $a = x$ et $b = 7$ : $2 \times x \times 7 = 14x$, ce qui correspond exactement. L’expression est donc de la forme $a^2 + 2ab + b^2$ : $x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$.
2. On repère que $9 = 3^2$, et l’on vérifie : $2 \times x \times 3 = 6x$, ce qui correspond au terme central (avec un signe négatif). L’expression est de la forme $a^2 - 2ab + b^2$ : $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
3. On repère que $16x^2 = (4x)^2$ et $25 = 5^2$ : il s’agit d’une différence de deux carrés, avec $a = 4x$ et $b = 5$ : $16x^2 - 25 = (4x-5)(4x+5)$.

1. L’expression $203^2 - 197^2$ a exactement la forme d’une différence de deux carrés, $a^2 - b^2$, avec $a = 203$ et $b = 197$. On la factorise donc grâce à l’identité remarquable : $203^2 - 197^2 = (203 - 197)(203 + 197)$.
2. On calcule ces deux nombres, qui sont beaucoup plus simples à manier que des carrés à trois chiffres : $203 - 197 = 6$ et $203 + 197 = 400$.
3. Grâce à la factorisation, il suffit maintenant de multiplier ces deux résultats simples, plutôt que de calculer $203^2$ et $197^2$ séparément (des calculs bien plus longs) : $203^2 - 197^2 = 6 \times 400 = 2\,400$.
4. On applique exactement la même méthode : $52^2 - 48^2 = (52-48)(52+48)$. On calcule $52 - 48 = 4$ et $52 + 48 = 100$, puis $4 \times 100 = 400$.