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3e⏱ 5 séances

Identités remarquables

Ce que tu vas apprendre

  • Connaître et démontrer l'identité (a + b)²
  • Connaître et démontrer l'identité (a - b)²
  • Connaître et démontrer l'identité (a - b)(a + b)
  • Utiliser les identités remarquables pour développer une expression
  • Utiliser les identités remarquables pour factoriser une expression
Notions clésidentités remarquablescarré d'une somme, d'une différencedifférence de deux carrés

1. Le carré d’une somme

Propriété. Pour tous nombres aa et bb : (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Méthode. Cette identité se retrouve en développant (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) avec la double distributivité : (a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.

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 Le carré d'une somme, en aires (a + b)² = a² + 2ab + b² a² ab ab b² a b a b Aire totale = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² Le carré (a+b)² se découpe en 4 régions dont on additionne les aires.
Un carré de côté (a+b) se découpe en 4 régions dont les aires s'additionnent : a2+ab+ab+b2a^2 + ab + ab + b^2.

Exemple. Développons (x+5)2(x + 5)^2. On applique l’identité avec a=xa = x et b=5b = 5 : (x+5)2=x2+2×x×5+52=x2+10x+25(x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Le carré d’une différence

Propriété. Pour tous nombres aa et bb : (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Méthode. Comme pour la première identité, on démontre celle-ci en développant (a−b)(a−b)(a-b)(a-b) avec la double distributivité : (a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2(a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Attention. Une erreur fréquente est d’oublier le signe « moins » devant 2ab2ab, ou d’oublier ce terme central entièrement. Le carré d’une différence n’est jamais a2−b2a^2 - b^2.

Exemple. Développons (x−4)2(x - 4)^2. On applique l’identité avec a=xa = x et b=4b = 4 : (x−4)2=x2−2×x×4+42=x2−8x+16(x-4)^2 = x^2 - 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. La différence de deux carrés

Propriété. Pour tous nombres aa et bb : (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Méthode. Cette identité se démontre elle aussi par la double distributivité : (a−b)(a+b)=a2+ab−ab−b2=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2 (les deux termes abab s’annulent).

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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAPZYQNlBiz8rGhjDAY9YGE6FESUVwNiv7abWMLq7v+YrdJoKWpAm3VZEbiJBIvKC9qdVLiecGOhLiqCy8Rof/YmmbaY= La différence de deux carrés, en aires a² − b² = (a − b)(a + b) b² a² − b² a a aire du « L » (a−b)(a+b) a + b a−b Le « L » restant (aire a² − b²) se redécoupe en un rectangle (a−b)(a+b). Les deux aires sont égales : c'est la même surface, juste réarrangée.
Le « L » d'aire a2−b2a^2 - b^2 (un carré de côté a, privé d'un coin de côté b) se redécoupe en un rectangle de dimensions (a−b)(a-b) et (a+b)(a+b).

Exemple. Développons (x−7)(x+7)(x - 7)(x + 7). On applique l’identité avec a=xa = x et b=7b = 7 : (x−7)(x+7)=x2−72=x2−49(x-7)(x+7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49.

Astuce. Cette identité, utilisée dans le sens inverse, permet de factoriser très rapidement toute expression de la forme a2−b2a^2 - b^2, en la reconnaissant comme une différence de deux carrés.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Utiliser les identités remarquables pour factoriser

📋 Méthode — Factoriser avec une identité remarquable
  1. Observer si l’expression a la forme d’un développement d’identité remarquable (trois termes avec des carrés et un double produit, ou une différence de deux carrés).
  2. Identifier les valeurs de aa et bb correspondantes.
  3. Appliquer l’identité dans le sens inverse pour retrouver la forme factorisée.

Exemple. Factorisons x2−10x+25x^2 - 10x + 25. On reconnaît la forme a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 avec a=xa = x et b=5b = 5 (car 2ab=10x2ab = 10x et b2=25b^2 = 25) : x2−10x+25=(x−5)2x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2.

Exemple. Factorisons 9x2−169x^2 - 16. On reconnaît une différence de deux carrés : 9x2=(3x)29x^2 = (3x)^2 et 16=4216 = 4^2. Donc 9x2−16=(3x−4)(3x+4)9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4).

→ S’entraîner : Exercice 4