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3e⏱ 45 minutes

Identités remarquables — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Le carré d'une somme

Développe à l'aide de l'identité remarquable.

  1. (x+6)2(x + 6)^2 (2 points)
  2. (2x+3)2(2x + 3)^2 (2 points)
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  1. Ici a=xa = x et b=6b = 6 : (x+6)2=x2+2×x×6+62=x2+12x+36(x+6)^2 = x^2 + 2 \times x \times 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36.
  2. Ici a=2xa = 2x et b=3b = 3 (attention, aa n'est pas simplement xx) : (2x+3)2=(2x)2+2×2x×3+32=4x2+12x+9(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9.

Exercice 2 (4 points) — Le carré d'une différence

Développe à l'aide de l'identité remarquable.

  1. (x−5)2(x - 5)^2 (2 points)
  2. (4x−1)2(4x - 1)^2 (2 points)
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  1. Ici a=xa = x et b=5b = 5 : (x−5)2=x2−2×x×5+52=x2−10x+25(x-5)^2 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25.
  2. Ici a=4xa = 4x et b=1b = 1 : (4x−1)2=(4x)2−2×4x×1+12=16x2−8x+1(4x-1)^2 = (4x)^2 - 2 \times 4x \times 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1.

Exercice 3 (4 points) — La différence de deux carrés

  1. Développe (x−9)(x+9)(x - 9)(x + 9). (2 points)
  2. Factorise x2−121x^2 - 121. (2 points)
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  1. On reconnaît la forme (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2, avec a=xa = x et b=9b = 9 : (x−9)(x+9)=x2−92=x2−81(x-9)(x+9) = x^2 - 9^2 = x^2 - 81.
  2. Pour factoriser, on utilise l'identité dans l'autre sens : il faut repérer que x2−121x^2 - 121 est bien une différence de deux carrés, avec 121=112121 = 11^2. On applique a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) avec a=xa = x et b=11b = 11 : x2−121=(x−11)(x+11)x^2 - 121 = (x-11)(x+11).

Exercice 4 (4 points) — Factoriser avec une identité remarquable

Factorise les expressions suivantes en reconnaissant l'identité remarquable adaptée.

  1. x2+20x+100x^2 + 20x + 100 (1 point)
  2. x2−24x+144x^2 - 24x + 144 (1 point)
  3. 25x2−6425x^2 - 64 (2 points)
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  1. On repère que 100=102100 = 10^2, et l'on vérifie le terme central : 2×x×10=20x2 \times x \times 10 = 20x, ce qui correspond exactement. L'expression est de la forme a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 : x2+20x+100=(x+10)2x^2 + 20x + 100 = (x+10)^2.
  2. On repère que 144=122144 = 12^2, et l'on vérifie : 2×x×12=24x2 \times x \times 12 = 24x, ce qui correspond au terme central (avec un signe négatif). L'expression est de la forme a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 : x2−24x+144=(x−12)2x^2 - 24x + 144 = (x-12)^2.
  3. On repère que 25x2=(5x)225x^2 = (5x)^2 et 64=8264 = 8^2 : il s'agit d'une différence de deux carrés, avec a=5xa = 5x et b=8b = 8 : 25x2−64=(5x−8)(5x+8)25x^2 - 64 = (5x-8)(5x+8).

Exercice 5 (4 points) — Calcul astucieux

On veut calculer 3052−2952305^2 - 295^2 sans calculatrice, le plus rapidement possible.

  1. Réécris cette expression sous forme factorisée à l'aide d'une identité remarquable. (1 point)
  2. Calcule les deux facteurs obtenus. (1 point)
  3. En déduire la valeur de 3052−2952305^2 - 295^2. (1 point)
  4. Utilise la même méthode pour calculer 412−39241^2 - 39^2. (1 point)
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  1. L'expression 3052−2952305^2 - 295^2 a exactement la forme d'une différence de deux carrés, a2−b2a^2 - b^2, avec a=305a = 305 et b=295b = 295. On la factorise grâce à l'identité remarquable : 3052−2952=(305−295)(305+295)305^2 - 295^2 = (305 - 295)(305 + 295).
  2. On calcule ces deux nombres, beaucoup plus simples à manier que des carrés à trois chiffres : 305−295=10305 - 295 = 10 et 305+295=600305 + 295 = 600.
  3. Il suffit maintenant de multiplier ces deux résultats simples, plutôt que de calculer 3052305^2 et 2952295^2 séparément : 3052−2952=10×600=6 000305^2 - 295^2 = 10 \times 600 = 6\,000.
  4. On applique exactement la même méthode : 412−392=(41−39)(41+39)41^2 - 39^2 = (41-39)(41+39). On calcule 41−39=241 - 39 = 2 et 41+39=8041 + 39 = 80, puis 2×80=1602 \times 80 = 160.