Fractions : simplifier et résoudre des problèmes — Exercices d'application

Pour rendre une fraction irréductible, on cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur, et l’on divise les deux par ce nombre — idéalement le plus grand diviseur commun possible, pour n’avoir qu’une seule étape à effectuer.

1. On remarque que $12$ divise à la fois $36$ et $48$ : $\dfrac{36}{48} = \dfrac{36 \div 12}{48 \div 12} = \dfrac{3}{4}$. Comme $3$ et $4$ n’ont plus de diviseur commun, cette fraction est bien irréductible.
2. On remarque que $15$ divise à la fois $75$ et $90$ : $\dfrac{75}{90} = \dfrac{75 \div 15}{90 \div 15} = \dfrac{5}{6}$, une fraction irréductible.
3. On remarque que $14$ divise à la fois $56$ et $98$ : $\dfrac{56}{98} = \dfrac{56 \div 14}{98 \div 14} = \dfrac{4}{7}$, une fraction irréductible.

Pour justifier rigoureusement qu’une fraction est irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis on vérifie qu’ils n’ont aucun facteur premier en commun.

1. On décompose : $22 = 2 \times 11$ et $35 = 5 \times 7$. En comparant ces deux décompositions, on constate qu’elles n’ont aucun facteur premier commun (les nombres $2$, $11$, $5$ et $7$ sont tous différents) : la fraction $\dfrac{22}{35}$ est donc bien irréductible.
2. On décompose : $18 = 2 \times 3^2$ et $24 = 2^3 \times 3$. Cette fois, les deux décompositions partagent des facteurs communs : $2$ (au moins une fois dans chaque) et $3$ (au moins une fois dans chaque), soit un facteur commun total de $2 \times 3 = 6$. La fraction $\dfrac{18}{24}$ n’est donc pas irréductible ; en la simplifiant par ce facteur commun : $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$.

1. La vigne totale regroupe la vigne rouge et la vigne blanche : il faut donc additionner $\dfrac{2}{5}$ et $\dfrac{1}{4}$. Ces deux fractions n’ont pas le même dénominateur ; on les met au même dénominateur $20$ (un multiple commun de $5$ et $4$) avant de les additionner : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{20}$. Donc $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20}$.
2. La prairie occupe tout ce qui n’est pas de la vigne : on soustrait donc la fraction de vigne trouvée à la question précédente de la totalité du domaine (soit $1$, ou $\dfrac{20}{20}$) : $1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{20}{20} - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$.
3. On applique cette fraction à la superficie réelle du domaine : $\dfrac{7}{20} \times 60 = \dfrac{420}{20} = 21\,\text{ha}$ de prairie.

1. Après avoir retiré la part investie ($\dfrac{3}{8}$) de la totalité du bénéfice (soit $1$, ou $\dfrac{8}{8}$), il reste : $1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}$ du bénéfice total.
2. Il faut être attentif ici : les $\dfrac{2}{5}$ de dividendes ne s’appliquent pas au bénéfice total, mais uniquement à ce qu’il en reste après investissement, c’est-à-dire $\dfrac{5}{8}$. On calcule donc « $\dfrac{2}{5}$ de $\dfrac{5}{8}$ », ce qui revient à multiplier les deux fractions : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{10}{40}$, que l’on simplifie en $\dfrac{1}{4}$ du bénéfice total.
3. Ce qui reste en trésorerie correspond à ce qui n’a été ni investi, ni versé en dividendes. On soustrait donc la fraction des dividendes ($\dfrac{1}{4}$) de ce qui restait après investissement ($\dfrac{5}{8}$) : en mettant au même dénominateur $8$, $\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}$, donc $\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}$ du bénéfice total.
4. On applique cette fraction de $\dfrac{3}{8}$ au bénéfice réel de $240\,000$ € : $\dfrac{3}{8} \times 240\,000 = \dfrac{720\,000}{8} = 90\,000$ € conservés en trésorerie.

1. On décompose chaque dénominateur en facteurs premiers, et on regarde s’il ne contient que des $2$ et des $5$ :
   • $8 = 2^3$ : ne contient que le facteur $2$ → écriture finie.
   • $9 = 3^2$ : contient le facteur $3$ (ni $2$ ni $5$) → écriture périodique.
   • $12 = 2^2 \times 3$ : contient le facteur $3$ en plus de $2$ → écriture périodique.
   • $40 = 2^3 \times 5$ : ne contient que les facteurs $2$ et $5$ → écriture finie.
2. $\dfrac{7}{8} = 0{,}875$ : la division s’arrête bien après trois chiffres, l’écriture est finie, comme prévu. $\dfrac{9}{40} = 0{,}225$ : la division s’arrête également après trois chiffres, écriture finie confirmée.
3. Le dénominateur de $\dfrac{1}{6}$, sous forme irréductible, est $6 = 2 \times 3$. Comme il contient le facteur premier $3$ (en plus de $2$), la règle du cours affirme que son écriture décimale ne peut pas être finie : elle est nécessairement périodique. (En effet, $\dfrac{1}{6} = 0{,}1666\ldots$, où le chiffre $6$ se répète indéfiniment.)