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Fractions : simplifier et résoudre des problèmes — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Rends chaque fraction irréductible.

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Le nombre $15$ divise à la fois $45$ et $60$ : $\dfrac{45}{60} = \dfrac{45 \div 15}{60 \div 15} = \dfrac{3}{4}$ . Comme $3$ et $4$ n'ont plus de diviseur commun, cette fraction est irréductible.
Le nombre $26$ divise à la fois $52$ et $78$ : $\dfrac{52}{78} = \dfrac{52 \div 26}{78 \div 26} = \dfrac{2}{3}$ , une fraction irréductible.

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On décompose : $26 = 2 \times 13$ et $45 = 3^2 \times 5$ .
En comparant ces deux décompositions, on constate qu'elles n'ont aucun facteur premier commun (les nombres $2$ , $13$ , $3$ et $5$ sont tous différents) : la fraction $\dfrac{26}{45}$ est donc bien irréductible.

Un ménage consacre $\dfrac{1}{3}$ de son budget mensuel au loyer, $\dfrac{1}{4}$ aux courses, et le reste aux loisirs et à l'épargne.

Calcule la fraction du budget consacrée aux loisirs et à l'épargne. (2 points)
Si le budget mensuel est de $2\,400$ €, calcule la somme consacrée aux loisirs et à l'épargne. (2 points)

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Le loyer et les courses représentent ensemble $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ . En mettant au même dénominateur $12$ : $\dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$ , donc $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$ . Les loisirs et l'épargne représentent donc le reste : $1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{12}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}$ .
On applique cette fraction au budget réel : $\dfrac{5}{12} \times 2\,400 = \dfrac{12\,000}{12} = 1\,000$ € consacrés aux loisirs et à l'épargne.

Sans effectuer la division, indique si l'écriture décimale de chacune de ces fractions est finie ou périodique : $\dfrac{3}{16}$ , $\dfrac{7}{15}$ , $\dfrac{9}{50}$ , $\dfrac{5}{12}$ . (3 points)
Calcule l'écriture décimale de $\dfrac{9}{50}$ . (1 point)

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On décompose chaque dénominateur en facteurs premiers, et on regarde s'il ne contient que des $2$ $2$ et des $5$ $5$ :
- $16 = 2^4$ : ne contient que le facteur $2$ → écriture finie.
- $15 = 3 \times 5$ : contient le facteur $3$ → écriture périodique.
- $50 = 2 \times 5^2$ : ne contient que les facteurs $2$ et $5$ → écriture finie.
- $12 = 2^2 \times 3$ : contient le facteur $3$ → écriture périodique.
$\dfrac{9}{50} = 0{,}18$ : la division s'arrête bien après deux chiffres, écriture finie confirmée.

Un pâtissier utilise $\dfrac{3}{5}$ de son stock de farine pour des brioches, puis $\dfrac{1}{4}$ de ce qu'il reste pour un gâteau.

Calcule la fraction du stock initial qui reste après les brioches. (1 point)
Calcule la fraction du stock initial utilisée pour le gâteau. (1 point)
Calcule, sous forme irréductible, la fraction du stock initial qui reste après le gâteau, et indique si son écriture décimale est finie ou périodique. (1 point)
Si le stock initial pesait $40\,\text{kg}$ , calcule la masse de farine qui reste. (1 point)

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Après les brioches, il reste $1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ du stock initial.
Le gâteau utilise $\dfrac{1}{4}$ de ce reste, c'est-à-dire « $\dfrac{1}{4}$ de $\dfrac{2}{5}$ » : $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$ du stock initial.
Il reste, après le gâteau : $\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{10}$ . En mettant au même dénominateur $10$ : $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$ , donc $\dfrac{4}{10} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{10}$ , déjà irréductible ( $3$ et $10$ n'ont aucun diviseur commun). Le dénominateur $10 = 2 \times 5$ ne contient que les facteurs $2$ et $5$ : l'écriture décimale de $\dfrac{3}{10} = 0{,}3$ est donc finie.
On applique cette fraction à la masse réelle : $\dfrac{3}{10} \times 40 = \dfrac{120}{10} = 12\,\text{kg}$ de farine restante.