Fractions : simplifier et résoudre des problèmes

1. Rendre une fraction irréductible

Définition. Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont plus aucun diviseur commun autre que $1$.

Exemple. Rendons irréductible $\dfrac{84}{126}$. Les deux nombres sont divisibles par $2$ : $\dfrac{42}{63}$. Ils sont encore divisibles par $3$ : $\dfrac{14}{21}$. Ils sont encore divisibles par $7$ : $\dfrac{2}{3}$. Comme $2$ et $3$ n’ont plus de diviseur commun, $\dfrac{2}{3}$ est la forme irréductible de $\dfrac{84}{126}$.

Astuce. Chercher directement le plus grand diviseur commun (par décomposition en facteurs premiers, par exemple) permet d’arriver directement à la fraction irréductible, sans avoir à simplifier en plusieurs étapes.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Justifier qu’une fraction est irréductible

Méthode. Pour justifier qu’une fraction est irréductible, on peut décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, et constater qu’ils n’ont aucun facteur premier en commun.

Exemple. La fraction $\dfrac{15}{28}$ est irréductible : $15 = 3 \times 5$ et $28 = 2^2 \times 7$. Ces deux décompositions n’ont aucun facteur premier commun.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Résoudre des problèmes combinant plusieurs opérations

Exemple. Un réservoir est rempli aux $\dfrac{3}{4}$ de sa capacité. On en prélève $\dfrac{1}{3}$ pour arroser un jardin, puis on ajoute $\dfrac{1}{5}$ de la capacité totale. Quelle fraction de la capacité totale reste-t-il ? Prélèvement : $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$. Après prélèvement : $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$. Après ajout : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{2}{10} = \dfrac{7}{10}$.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Écriture décimale d’une fraction : finie ou périodique

Propriété. Toute fraction (on dit aussi tout nombre rationnel) possède une écriture décimale qui est soit finie (la division s’arrête après un nombre fini de chiffres), soit périodique (une même séquence de chiffres se répète indéfiniment après la virgule).

Exemple. $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ : la division s’arrête, l’écriture est finie. En revanche, $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ : à chaque étape de la division, on retombe sur le même reste ($1$), donc le même chiffre ($3$) réapparaît indéfiniment — l’écriture est périodique. De même, $\dfrac{1}{7} = 0{,}142\,857\,142\,857\ldots$, où le bloc de six chiffres « $142\,857$ » se répète.

Astuce. Une fraction irréductible a une écriture décimale finie seulement lorsque son dénominateur n’a que $2$ et $5$ comme facteurs premiers (comme dans la décomposition en facteurs premiers vue à la section 2). Par exemple, $\dfrac{7}{20}$ a une écriture finie car $20 = 2^2 \times 5$, alors que $\dfrac{5}{6}$ est périodique car $6 = 2 \times 3$ contient le facteur $3$.

Vocabulaire. C’est cette propriété qui distingue les nombres rationnels des nombres irrationnels vus en 4e (comme $\sqrt{2}$) : un nombre irrationnel ne peut s’écrire ni sous forme de fraction, ni sous forme décimale finie ou périodique — son écriture décimale continue indéfiniment sans jamais se répéter selon un motif fixe.

→ S’entraîner : Exercice 5