Fonctions linéaires et affines — Exercices d'application

Calculer l’image d’un nombre par une fonction consiste à remplacer $x$ par ce nombre dans l’expression de la fonction, puis à calculer le résultat.

1. En remplaçant $x$ par $2$ : $f(2) = 4 \times 2 - 3 = 8 - 3 = 5$.
2. En remplaçant $x$ par $-1$ : $f(-1) = 4 \times (-1) - 3 = -4 - 3 = -7$.
3. Oui. On vient justement de calculer, à la question 1, que $f(2) = 5$ : cela signifie exactement que $5$ est l’image de $2$ par $f$, et donc que $2$ est un antécédent de $5$.

1. Le prix total s’obtient en multipliant la distance parcourue par le tarif au kilomètre : $P(d) = 1{,}80 \times d$. Cette fonction est bien linéaire, car elle est de la forme $f(x) = ax$ (sans terme constant) et correspond exactement à une situation de proportionnalité : le prix est proportionnel à la distance.
2. On remplace $d$ par $12$ : $P(12) = 1{,}80 \times 12 = 21{,}60$ €.
3. On repart de la formule avec $P = 27$ : $1{,}80 \times d = 27$. On isole $d$ en divisant par $1{,}80$ : $d = 27 \div 1{,}80 = 15\,\text{km}$.

1. Le prix se compose d’une partie fixe ($25$ €, indépendante du trajet) et d’une partie proportionnelle au nombre de kilomètres ($0{,}30$ € par km) : $P(k) = 0{,}30k + 25$. Cette fonction est bien affine, de la forme $f(x) = ax + b$, avec le coefficient directeur $a = 0{,}30$ et l’ordonnée à l’origine $b = 25$.
2. On remplace $k$ par $200$ : $P(200) = 0{,}30 \times 200 + 25 = 60 + 25 = 85$ €.
3. On repart de la formule avec $P = 85$ : $0{,}30k + 25 = 85$. On soustrait $25$ des deux côtés : $0{,}30k = 60$. On divise par $0{,}30$ : $k = 60 \div 0{,}30 = 200\,\text{km}$.

1. L’ordonnée à l’origine $b$ correspond à l’ordonnée du point où la droite coupe l’axe des ordonnées, c’est-à-dire le point d’abscisse $0$. Ici, ce point est justement $A(0\,;\,4)$ : donc $b = 4$.
2. Le coefficient directeur se calcule comme le rapport entre la variation verticale et la variation horizontale entre deux points de la droite : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{10 - 4}{3 - 0} = \dfrac{6}{3} = 2$.
3. Avec $a = 2$ et $b = 4$, l’expression de la fonction affine est $f(x) = 2x + 4$.
4. On calcule l’image de $3$ par cette fonction : $f(3) = 2 \times 3 + 4 = 6 + 4 = 10$. Ce résultat correspond exactement à l’ordonnée du point $B(3\,;\,10)$, ce qui confirme que la fonction trouvée est correcte. ✓

1. Comme à la section précédente, le coefficient directeur se calcule comme le rapport entre la variation des images et la variation des nombres de départ : $a = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \dfrac{-1 - 8}{4 - 1} = \dfrac{-9}{3} = -3$.
2. On substitue $x = 1$ et $f(1) = 8$ dans $f(x) = -3x + b$ : $8 = -3 \times 1 + b$, soit $8 = -3 + b$, donc $b = 8 + 3 = 11$.
3. Avec $a = -3$ et $b = 11$, l’expression de la fonction affine est $f(x) = -3x + 11$.
4. On vérifie : $f(4) = -3 \times 4 + 11 = -12 + 11 = -1$. Ce résultat correspond bien à la valeur donnée dans l’énoncé. ✓

1. La fonction $f$ est constante : elle ne dépend pas de $x$ (c’est un cas particulier de fonction affine avec un coefficient directeur $a = 0$). La fonction $g$ est affine, avec un coefficient directeur $a = 0{,}8$ et une ordonnée à l’origine $b = 10$.
2. On pose l’égalité entre les deux prix : $25 = 0{,}8x + 10$. On soustrait $10$ des deux côtés : $15 = 0{,}8x$. On divise par $0{,}8$ : $x = 15 \div 0{,}8 = 18{,}75\,\text{Go}$.
3. On calcule les deux prix pour $x = 15$ : $f(15) = 25$ € (prix fixe). $g(15) = 0{,}8 \times 15 + 10 = 12 + 10 = 22$ €. Comme $22 < 25$, l’offre B revient moins chère pour ce client.
4. D’après le résultat de la question 2, les deux offres coûtent exactement le même prix pour $18{,}75\,\text{Go}$. Comme l’offre B augmente avec la consommation (contrairement à l’offre A, fixe), elle devient plus chère que l’offre A dès que la consommation dépasse ce seuil de $18{,}75\,\text{Go}$.