Fonctions linéaires et affines — Entraînement

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = 5x - 2$ .

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En remplaçant $x$ par $3$ : $f(3) = 5 \times 3 - 2 = 15 - 2 = 13$ .
En remplaçant $x$ par $-2$ : $f(-2) = 5 \times (-2) - 2 = -10 - 2 = -12$ .
On calcule l'image de $2$ : $f(2) = 5 \times 2 - 2 = 10 - 2 = 8$ . Comme $8 \neq 6$ , le nombre $6$ n'est pas l'image de $2$ par $f$ .

Un service de vélos en libre-service facture $0{,}15$ € par minute d'utilisation, sans frais fixe.

Exprime le prix $P$ en fonction de la durée $m$ (en minutes). Cette fonction est-elle linéaire ? (1 point)
Calcule le prix pour un trajet de $40$ minutes. (1 point)
Un trajet a coûté $9$ €. Calcule sa durée, en minutes. (2 points)

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Le prix total s'obtient en multipliant la durée par le tarif à la minute : $P(m) = 0{,}15 \times m$ . Cette fonction est linéaire, car elle est de la forme $f(x) = ax$ (sans terme constant) : le prix est proportionnel à la durée.
On remplace $m$ par $40$ : $P(40) = 0{,}15 \times 40 = 6$ €.
On repart de la formule avec $P = 9$ : $0{,}15 \times m = 9$ . On divise par $0{,}15$ : $m = 9 \div 0{,}15 = 60$ minutes.

Un parking facture $2$ € de frais fixes, plus $1{,}50$ € par heure de stationnement.

Exprime le prix $P$ en fonction du nombre d'heures $h$ . Est-ce une fonction affine ? Identifie $a$ et $b$ . (1 point)
Calcule le prix pour $3$ heures de stationnement. (1 point)
Un client a payé $11$ €. Calcule le nombre d'heures de stationnement. (2 points)

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Le prix se compose d'une partie fixe ( $2$ €) et d'une partie proportionnelle au nombre d'heures ( $1{,}50$ € par heure) : $P(h) = 1{,}50h + 2$ . Cette fonction est bien affine, avec le coefficient directeur $a = 1{,}50$ et l'ordonnée à l'origine $b = 2$ .
On remplace $h$ par $3$ : $P(3) = 1{,}50 \times 3 + 2 = 4{,}50 + 2 = 6{,}50$ €.
On repart de la formule avec $P = 11$ : $1{,}50h + 2 = 11$ . On soustrait $2$ des deux côtés : $1{,}50h = 9$ . On divise par $1{,}50$ : $h = 9 \div 1{,}50 = 6$ heures.

Une droite représentant une fonction affine passe par les points $A(0\,;\,-3)$ et $B(4\,;\,5)$ .

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L'ordonnée à l'origine $b$ correspond à l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées, c'est-à-dire le point d'abscisse $0$ . Ici, ce point est $A(0\,;\,-3)$ : donc $b = -3$ .
Le coefficient directeur se calcule comme le rapport entre la variation verticale et la variation horizontale entre les deux points : $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - (-3)}{4 - 0} = \dfrac{8}{4} = 2$ .
Avec $a = 2$ et $b = -3$ , l'expression de la fonction affine est $f(x) = 2x - 3$ .
On calcule l'image de $4$ : $f(4) = 2 \times 4 - 3 = 8 - 3 = 5$ . Ce résultat correspond bien à l'ordonnée du point $B(4\,;\,5)$ , ce qui confirme le résultat. ✓

Une fonction affine $f$ vérifie $f(2) = -1$ et $f(6) = 11$ .

Calcule le coefficient directeur $a$ . (2 points)
Calcule l'ordonnée à l'origine $b$ , puis donne l'expression complète de $f(x)$ . (2 points)

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Le coefficient directeur se calcule comme le rapport entre la variation des images et la variation des nombres de départ : $a = \dfrac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \dfrac{11 - (-1)}{6 - 2} = \dfrac{12}{4} = 3$ .
On substitue $x = 2$ et $f(2) = -1$ dans $f(x) = 3x + b$ : $-1 = 3 \times 2 + b$ , soit $-1 = 6 + b$ , donc $b = -1 - 6 = -7$ . L'expression complète est donc $f(x) = 3x - 7$ . (Vérification avec l'autre couple : $f(6) = 3 \times 6 - 7 = 18 - 7 = 11$ . ✓)

Fonctions linéaires et affines — Entraînement type évaluation