3e⏱ 7 séances

Fonctions linéaires et affines

Ce que tu vas apprendre

Utiliser les différentes représentations d'une fonction
Définir et utiliser le vocabulaire image, antécédent
Définir et utiliser les fonctions linéaires, en lien avec la proportionnalité
Définir et utiliser les fonctions affines
Déterminer graphiquement les coefficients d'une fonction affine
Déterminer une fonction affine connaissant les images de deux nombres, sans graphique

Notions clésimage, antécédentfonction linéairefonction affinecoefficient directeur, ordonnée à l'origine

1. Le vocabulaire des fonctions : image et antécédent

Définition. Une fonction associe, à chaque nombre $x$ d’un ensemble de départ, un unique nombre appelé son image, noté $f(x)$ . Réciproquement, $x$ est un antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$ .

Exemple. Pour la fonction $f$ définie par $f(x) = 3x + 1$ : l’image de $4$ est $f(4) = 3 \times 4 + 1 = 13$ . Le nombre $4$ est un antécédent de $13$ par $f$ .

Méthode. Une fonction peut se représenter de plusieurs façons équivalentes : par une formule, un tableau de valeurs, ou un graphique (courbe représentative).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Les fonctions linéaires

Définition. Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = ax$ , où $a$ est un nombre fixé appelé le coefficient. Elle correspond exactement à une situation de proportionnalité : $a$ est le coefficient de proportionnalité.

Propriété. La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

Exemple. La fonction $f(x) = 2{,}5x$ peut représenter le prix payé (en euros) pour $x$ kilogrammes de fruits à $2{,}50$ € le kilogramme : c’est une situation de proportionnalité, dont la représentation graphique est une droite passant par l’origine.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Les fonctions affines

Définition. Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$ , où $a$ et $b$ sont des nombres fixés. Le nombre $a$ est le coefficient directeur, et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

Propriété. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite, qui coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées $(0\,;\,b)$ . Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine, avec $b = 0$ .

Exemple. La fonction $f(x) = 2x + 3$ est affine, avec coefficient directeur $a = 2$ et ordonnée à l’origine $b = 3$ . Sa représentation graphique est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point $(0\,;\,3)$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Déterminer graphiquement les coefficients d’une fonction affine

📋 Méthode — Lire les coefficients d'une fonction affine sur son graphique

Lire l’ordonnée à l’origine $b$ directement : c’est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.
Choisir deux points bien identifiables de la droite, et calculer le coefficient directeur $a$ comme le rapport entre la variation verticale et la variation horizontale entre ces deux points.

Exemple. Une droite passe par les points $(0\,;\,1)$ et $(2\,;\,5)$ . L’ordonnée à l’origine est $b = 1$ . Le coefficient directeur est $a = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$ . La fonction affine associée est $f(x) = 2x + 1$ .

Le coefficient directeur se lit comme un rapport Δy ÷ Δx entre deux points de la droite ; l'ordonnée à l'origine se lit directement où la droite coupe l'axe des ordonnées.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Déterminer une fonction affine connaissant les images de deux nombres

Il n’est pas toujours possible de lire un graphique : on connaît parfois seulement les images de deux nombres, données numériquement. On peut alors retrouver l’expression complète de la fonction affine, avec la même idée qu’à la section précédente.

📋 Méthode — Déterminer f(x) = ax + b connaissant f(x₁) et f(x₂)

Calculer le coefficient directeur, comme à la section précédente : $a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ .
Substituer un couple connu (par exemple $x_1$ et $f(x_1)$ ) dans $f(x) = ax + b$ , et résoudre cette égalité pour trouver $b$ .

Exemple. Une fonction affine $f$ vérifie $f(2) = 1$ et $f(5) = 13$ . On calcule d’abord $a = \dfrac{13 - 1}{5 - 2} = \dfrac{12}{3} = 4$ . On substitue ensuite $x = 2$ dans $f(x) = 4x + b$ , sachant que $f(2) = 1$ : $1 = 4 \times 2 + b$ , soit $1 = 8 + b$ , donc $b = 1 - 8 = -7$ . La fonction cherchée est donc $f(x) = 4x - 7$ . (On peut vérifier avec l’autre couple : $f(5) = 4 \times 5 - 7 = 20 - 7 = 13$ . ✓)

→ S’entraîner : Exercice 5