3e

La fonction carré — Exercices d'application

1. Construire un tableau de valeurs de la fonction carré

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Exercice 1 — ⭐

Calcule $f(4)$ et $f(-4)$ pour la fonction carré $f$ .
Complète le tableau de valeurs pour $x = -1{,}5\,;\,0\,;\,1{,}5$ .
Que remarques-tu entre $f(4)$ et $f(-4)$ ?

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La fonction carré associe à chaque nombre son carré : $f(4) = 4^2 = 16$ , et $f(-4) = (-4)^2 = 16$ (le carré d’un nombre négatif est positif, puisqu’un négatif multiplié par un négatif donne un positif).
On applique la même règle à chaque valeur : $f(-1{,}5) = (-1{,}5)^2 = 2{,}25$ ; $f(0) = 0^2 = 0$ ; $f(1{,}5) = 1{,}5^2 = 2{,}25$ .
On remarque que $f(4)$ et $f(-4)$ sont exactement égaux, tous deux valant $16$ . Ce n’est pas une coïncidence : deux nombres opposés ont toujours la même image par la fonction carré, car $(-x)^2 = x^2$ pour n’importe quel nombre $x$ .

2. Représenter graphiquement la fonction carré

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Exercice 2 — ⭐⭐

Quelle est la forme générale de la courbe représentative de la fonction carré ?
Par quel point particulier cette courbe passe-t-elle toujours ?
La courbe s’ouvre-t-elle vers le haut ou vers le bas ? Justifie en observant le signe des images.

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La courbe représentative de la fonction carré a une forme caractéristique appelée parabole.
Cette courbe passe systématiquement par l’origine du repère, le point $(0\,;\,0)$ , puisque $f(0) = 0^2 = 0$ .
La courbe s’ouvre vers le haut. En effet, quel que soit le nombre $x$ choisi (positif ou négatif), son carré $x^2$ est toujours positif ou nul : la courbe ne descend donc jamais en dessous de l’axe des abscisses, elle reste toujours au-dessus (ou exactement dessus, au point $(0\,;\,0)$ ).

3. Propriétés de la fonction carré

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Sans calculer, donne l’image de $-7$ sachant que $f(7) = 49$ .
Range dans l’ordre croissant les images $f(-5)$ , $f(2)$ , $f(-1)$ , $f(4)$ .
La fonction carré est-elle croissante ou décroissante entre $x = -6$ et $x = -2$ ? Justifie.

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Comme $-7$ et $7$ sont deux nombres opposés, et que la fonction carré donne toujours la même image à deux nombres opposés, on en déduit directement, sans calculer, que $f(-7) = f(7) = 49$ .
On calcule chaque image : $f(-5) = (-5)^2 = 25$ ; $f(2) = 2^2 = 4$ ; $f(-1) = (-1)^2 = 1$ ; $f(4) = 4^2 = 16$ . En classant ces valeurs de la plus petite à la plus grande : $1 < 4 < 16 < 25$ , ce qui correspond au rangement $f(-1) < f(2) < f(4) < f(-5)$ .
Pour les valeurs négatives de $x$ , la fonction carré est décroissante : plus $x$ se rapproche de $0$ (tout en restant négatif), plus son image diminue. On le vérifie ici : $f(-6) = (-6)^2 = 36$ et $f(-2) = (-2)^2 = 4$ . Comme $x$ passe de $-6$ à $-2$ (donc augmente) et que l’image passe de $36$ à $4$ (donc diminue), cela confirme bien que la fonction est décroissante sur cet intervalle négatif.

4. Utiliser la fonction carré pour résoudre des problèmes

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Exercice 4 — ⭐⭐⭐

La distance de freinage $d$ d’une voiture, en mètres, est proportionnelle au carré de sa vitesse $v$ , en km/h, selon la formule $d(v) = 0{,}006 \times v^2$ .

Calcule la distance de freinage pour une vitesse de $50\,\text{km/h}$ .
Calcule la distance de freinage pour une vitesse de $100\,\text{km/h}$ (le double de la précédente).
La distance de freinage a-t-elle simplement doublé, comme la vitesse ? Que peux-tu en conclure sur l’effet d’un doublement de vitesse sur la distance de freinage ?

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On remplace $v$ par $50$ dans la formule : $d(50) = 0{,}006 \times 50^2 = 0{,}006 \times 2\,500 = 15\,\text{m}$ .
On remplace $v$ par $100$ : $d(100) = 0{,}006 \times 100^2 = 0{,}006 \times 10\,000 = 60\,\text{m}$ .
En comparant les deux distances de freinage, $15\,\text{m}$ et $60\,\text{m}$ , on observe que $60 = 4 \times 15$ : la distance n’a donc pas simplement doublé, elle a été multipliée par $4$ , alors que la vitesse, elle, n’a fait que doubler. Cette observation s’explique directement par la nature de la fonction carré : doubler $v$ revient à multiplier $v^2$ (et donc $d$ ) par $2^2 = 4$ . On peut donc conclure qu’à chaque fois que la vitesse double, la distance de freinage est multipliée par $4$ — une information capitale en matière de sécurité routière.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐⭐

Un fabricant conçoit des panneaux solaires carrés. La puissance électrique produite, en watts, est donnée par $P(c) = 15 \times c^2$ , où $c$ est la longueur du côté du panneau, en mètres.

Calcule la puissance produite par un panneau de $1\,\text{m}$ de côté.
Calcule la puissance produite par un panneau de $2\,\text{m}$ de côté.
Un client souhaite une puissance d’au moins $500\,\text{W}$ . Résous l’équation $15c^2 = 500$ pour déterminer la longueur minimale de côté nécessaire (arrondie au dixième de mètre), en te souvenant qu’une longueur est toujours positive.
Vérifie ton résultat en calculant $P$ pour cette valeur de $c$ arrondie, et vérifie que la puissance obtenue est bien proche de $500\,\text{W}$ (ou légèrement supérieure).

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On remplace $c$ par $1$ : $P(1) = 15 \times 1^2 = 15\,\text{W}$ .
On remplace $c$ par $2$ : $P(2) = 15 \times 2^2 = 15 \times 4 = 60\,\text{W}$ .
On repart de l’équation $15c^2 = 500$ , où l’on cherche $c$ . On isole $c^2$ en divisant les deux côtés par $15$ : $c^2 = \dfrac{500}{15} \approx 33{,}33$ . Cette équation admettrait mathématiquement deux solutions opposées, mais seule la solution positive a un sens ici, puisque $c$ représente une longueur de côté : $c = \sqrt{33{,}33} \approx 5{,}8\,\text{m}$ .
On calcule la puissance obtenue pour cette valeur arrondie : $P(5{,}8) = 15 \times 5{,}8^2 = 15 \times 33{,}64 = 504{,}6\,\text{W}$ . Ce résultat est bien proche de l’objectif de $500\,\text{W}$ , et même légèrement supérieur — ce qui confirme que ce côté de $5{,}8\,\text{m}$ permet bien d’atteindre (et même de dépasser légèrement) la puissance souhaitée par le client.

5. Comparer des carrés et chercher des antécédents

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Sans calculer, compare $f(-8)$ et $f(6)$ , puis $f(-0{,}5)$ et $f(0{,}3)$ . Justifie.
Range dans l’ordre croissant les images des nombres $-2{,}5$ , $1{,}5$ , $-1$ et $3$ , sans calculatrice d’abord, puis vérifie par le calcul.
Donne les antécédents de $81$ , de $0$ et de $-4$ par la fonction carré.
Léa affirme : « $-8 < 6$ , donc $f(-8) < f(6)$ . » Explique pourquoi son raisonnement est faux, et donne la bonne conclusion.

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Le nombre $-8$ est à la distance $8$ de $0$ et $6$ est à la distance $6$ : comme $8 > 6$ , $f(-8) > f(6)$ (en effet $64 > 36$ ). De même, $-0{,}5$ est à la distance $0{,}5$ de $0$ et $0{,}3$ à la distance $0{,}3$ : comme $0{,}5 > 0{,}3$ , $f(-0{,}5) > f(0{,}3)$ (en effet $0{,}25 > 0{,}09$ ).
Les distances à $0$ sont $2{,}5$ , $1{,}5$ , $1$ et $3$ . Rangées de la plus petite à la plus grande : $1 < 1{,}5 < 2{,}5 < 3$ , donc $f(-1) < f(1{,}5) < f(-2{,}5) < f(3)$ . Vérification : $f(-1) = 1$ ; $f(1{,}5) = 2{,}25$ ; $f(-2{,}5) = 6{,}25$ ; $f(3) = 9$ .
Pour $81$ : on résout $x^2 = 81$ , d’où $x = 9$ ou $x = -9$ . Pour $0$ : le seul antécédent est $0$ . Pour $-4$ : aucun antécédent, car un carré n’est jamais négatif.
Léa suppose que la fonction carré est croissante partout, ce qui est faux : elle est décroissante pour les nombres négatifs. Ici $-8$ est plus éloigné de $0$ que $6$ , donc $f(-8) > f(6)$ : $f(-8) = 64$ et $f(6) = 36$ .