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La fonction carré

Ce que tu vas apprendre

Construire un tableau de valeurs de la fonction carré
Représenter graphiquement la fonction carré
Décrire les propriétés de symétrie et de variation de la fonction carré
Comparer des carrés et chercher des antécédents par la fonction carré
Utiliser la fonction carré pour résoudre des problèmes

Notions clésfonction carréparabolesymétrie de la courbesommet et minimumcomparer des carrés

1. Construire un tableau de valeurs de la fonction carré

Définition. La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre $x$ , associe son carré $x^2$ . On la note souvent $f(x) = x^2$ .

Exemple. Tableau de valeurs de la fonction carré :

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Représenter graphiquement la fonction carré

Méthode. En plaçant les points du tableau de valeurs dans un repère, puis en les reliant par une courbe lisse, on obtient la représentation graphique de la fonction carré : une courbe appelée parabole.

La parabole représentant la fonction carré : elle passe par l'origine, s'ouvre vers le haut et passe par les points

(-3\,;\,9)

,

(-2\,;\,4)

,

(-1\,;\,1)

,

(0\,;\,0)

,

(1\,;\,1)

,

(2\,;\,4)

et

(3\,;\,9)

.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Propriétés de la fonction carré

Propriété. La courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : deux nombres opposés ont toujours la même image ( $f(-x) = f(x)$ , car $(-x)^2 = x^2$ ).

Propriété. La fonction carré est décroissante pour les valeurs de $x$ négatives (l’image diminue quand $x$ augmente, en restant négatif), puis croissante pour les valeurs de $x$ positives.

Exemple. $f(-3) = 9$ et $f(3) = 9$ : ces deux nombres opposés ont bien la même image, ce qui illustre la symétrie de la courbe. En allant de $x = -3$ à $x = 0$ , les images diminuent ( $9, 4, 1, 0$ ) ; en allant de $x = 0$ à $x = 3$ , elles augmentent ( $0, 1, 4, 9$ ).

Propriété. Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul : $x^2 \geqslant 0$ pour tout nombre $x$ . La courbe reste donc toujours au-dessus de l’axe des abscisses. Elle touche cet axe en un seul point, l’origine $(0\,;\,0)$ : c’est le point le plus bas de la parabole, appelé son sommet, et $0$ est le minimum de la fonction carré.

Deux nombres opposés ont la même image (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) ; la fonction décroît à gauche du sommet, puis croît à droite.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Utiliser la fonction carré pour résoudre des problèmes

📋 Méthode — Résoudre un problème avec la fonction carré

Identifier la grandeur qui dépend du carré d’une autre (aire d’un carré, distance de freinage proportionnelle au carré de la vitesse, etc.).
Écrire la formule correspondante sous la forme $f(x) = x^2$ (éventuellement avec un coefficient).
Utiliser cette formule pour calculer des valeurs, ou résoudre une équation associée si l’on cherche $x$ à partir d’une image donnée.

Exemple. L’aire d’un carré de côté $x$ est $A(x) = x^2$ . Pour un côté de $7\,\text{cm}$ , l’aire est $A(7) = 49\,\text{cm}^2$ .

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Comparer des carrés et chercher des antécédents

Propriété. Pour comparer les carrés de deux nombres, on compare leurs distances à $0$ (c’est-à-dire les nombres écrits sans leur signe) : le nombre le plus éloigné de $0$ a le plus grand carré.

Exemple. Comparons $f(-5)$ et $f(4)$ sans calculer. Le nombre $-5$ est à la distance $5$ de $0$ , le nombre $4$ à la distance $4$ : comme $5 > 4$ , on a $f(-5) > f(4)$ . Le calcul le confirme : $f(-5) = 25$ et $f(4) = 16$ .

Attention. On a $-5 < 4$ , et pourtant $f(-5) > f(4)$ : la fonction carré n’est pas croissante sur tout l’ensemble des nombres. Elle est décroissante avant le sommet et croissante après, donc on ne peut pas comparer les images en comparant simplement les nombres quand ils n’ont pas le même signe.

-2{,}5

est plus éloigné de

0

que

1{,}5

: son image est donc plus grande, même si

-2{,}5 < 1{,}5

.

Propriété. Chercher les antécédents d’un nombre $k$ par la fonction carré, c’est résoudre l’équation $x^2 = k$ (voir le chapitre sur l’équation du type $x^2 = a$ ) :

si $k > 0$ , il y a deux antécédents opposés, $\sqrt{k}$ et $-\sqrt{k}$ ;
si $k = 0$ , il y a un seul antécédent, $0$ ;
si $k < 0$ , il n’y a aucun antécédent, puisqu’un carré n’est jamais négatif.

Exemple. Les antécédents de $9$ par la fonction carré sont $3$ et $-3$ ; le nombre $0$ a pour seul antécédent $0$ ; le nombre $-4$ n’a aucun antécédent.

→ S’entraîner : Exercice 6