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La fonction carré — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Dans tout l'entraînement, $f$ désigne la fonction carré : $f(x) = x^2$ .

Exercice 1 (4 points) — Tableau de valeurs

Complète le tableau de valeurs suivant. (2 points)

$x$	$-5$	$-0{,}5$	$0$	$0{,}5$	$5$
$f(x)$

Écris les coordonnées des cinq points correspondants dans un repère. (1 point)
Que remarques-tu sur les valeurs de $f(-5)$ et $f(5)$ ? Explique pourquoi. (1 point)

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On élève chaque nombre au carré :

$x$	$-5$	$-0{,}5$	$0$	$0{,}5$	$5$
$f(x)$	$25$	$0{,}25$	$0$	$0{,}25$	$25$

Les points sont $(-5\,;\,25)$ , $(-0{,}5\,;\,0{,}25)$ , $(0\,;\,0)$ , $(0{,}5\,;\,0{,}25)$ et $(5\,;\,25)$ .
On a $f(-5) = f(5) = 25$ : deux nombres opposés ont toujours la même image, car $(-x)^2 = x^2$ .

Exercice 2 (4 points) — La parabole

Comment s'appelle la courbe représentant la fonction carré ? (1 point)
Le point $B(-4\,;\,16)$ appartient-il à cette courbe ? Le point $C(3\,;\,6)$ ? Justifie. (2 points)
Quel est le point le plus bas de la courbe ? Comment l'appelle-t-on ? (1 point)

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C'est une parabole.
Pour $B$ : $f(-4) = (-4)^2 = 16$ , qui est bien l'ordonnée de $B$ : $B$ appartient à la courbe. Pour $C$ : $f(3) = 3^2 = 9$ , et non $6$ : $C$ n'appartient pas à la courbe.
Le point le plus bas est l'origine $(0\,;\,0)$ , car $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$ et $f(0) = 0$ . On l'appelle le sommet de la parabole.

Exercice 3 (4 points) — Propriétés

Sachant que $f(12) = 144$ , donne sans calculer l'image de $-12$ . (1 point)
Range dans l'ordre croissant les images $f(-3)$ , $f(2)$ , $f(-2{,}5)$ et $f(0{,}5)$ . (2 points)
La fonction carré est-elle croissante ou décroissante entre $x = 1$ et $x = 4$ ? Justifie en calculant deux images. (1 point)

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Deux nombres opposés ont la même image, donc $f(-12) = f(12) = 144$ .
$f(-3) = 9$ ; $f(2) = 4$ ; $f(-2{,}5) = 6{,}25$ ; $f(0{,}5) = 0{,}25$ . Rangement : $f(0{,}5) < f(2) < f(-2{,}5) < f(-3)$ .
$f(1) = 1$ et $f(4) = 16$ : quand $x$ passe de $1$ à $4$ , son image augmente. La fonction carré est croissante pour les nombres positifs.

Exercice 4 (4 points) — Comparer des carrés et chercher des antécédents

Sans calculer, compare $f(-9)$ et $f(7)$ . Justifie. (1,5 point)
Donne les antécédents de $36$ par la fonction carré. (1 point)
Donne les antécédents de $-16$ par la fonction carré. (1,5 point)

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Le nombre $-9$ est à la distance $9$ de $0$ et $7$ à la distance $7$ : comme $9 > 7$ , $f(-9) > f(7)$ (en effet $81 > 49$ ).
On résout $x^2 = 36$ : $x = 6$ ou $x = -6$ . Les antécédents de $36$ sont $6$ et $-6$ .
Un carré n'est jamais négatif : le nombre $-16$ n'a aucun antécédent.

Exercice 5 (4 points) — Problème

Un objet lâché sans vitesse initiale tombe d'une distance, en mètres, donnée approximativement par $d(t) = 5t^2$ , où $t$ est la durée de la chute en secondes.

Calcule la distance parcourue au bout de $2$ s, puis au bout de $3$ s. (1,5 point)
Calcule la distance parcourue au bout de $6$ s. Par combien est-elle multipliée par rapport à celle obtenue au bout de $2$ s, alors que la durée a été multipliée par $3$ ? (1,5 point)
Au bout de combien de temps l'objet a-t-il parcouru $125$ m ? (Résous $5t^2 = 125$ en te souvenant qu'une durée est positive.) (1 point)

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$d(2) = 5 \times 2^2 = 5 \times 4 = 20$ m ; $d(3) = 5 \times 3^2 = 5 \times 9 = 45$ m.
$d(6) = 5 \times 6^2 = 5 \times 36 = 180$ m. Comme $180 = 9 \times 20$ , la distance est multipliée par $9 = 3^2$ alors que la durée n'a été multipliée que par $3$ .
$5t^2 = 125 \iff t^2 = 25$ , donc $t = 5$ ou $t = -5$ . Une durée est positive : $t = 5$ s.