Résoudre une équation du type x² = a — Exercices d'application

Pour un nombre $a$ strictement positif, l’équation $x^2 = a$ admet toujours deux solutions opposées : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.

1. Comme $\sqrt{36} = 6$ (car $6^2 = 36$), les solutions sont $x = 6$ ou $x = -6$.
2. Comme $\sqrt{100} = 10$ (car $10^2 = 100$), les solutions sont $x = 10$ ou $x = -10$.
3. Ici, $2$ n’est pas un carré parfait : on laisse donc le résultat sous forme de racine carrée. Les solutions sont $x = \sqrt{2}$ ou $x = -\sqrt{2}$.

1. $x^2 = 64 \iff x^2 - 64 = 0 \iff x^2 - 8^2 = 0 \iff (x-8)(x+8) = 0$. D’où $x - 8 = 0$ ou $x + 8 = 0$, c’est-à-dire $x = 8$ ou $x = -8$.
2. $10$ n’est pas un carré parfait, mais on peut quand même écrire $10 = (\sqrt{10})^2$ : $x^2 = 10 \iff x^2 - 10 = 0 \iff x^2 - (\sqrt{10})^2 = 0 \iff (x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10}) = 0$. D’où $x = \sqrt{10}$ ou $x = -\sqrt{10}$.

Dans les deux cas, on retrouve bien les solutions $\pm\sqrt{a}$ annoncées par la propriété de la section 1.

1. Le seul nombre dont le carré vaut $0$ est $0$ lui-même : cette équation admet donc une unique solution, $x = 0$ (contrairement au cas général où l’on trouve deux solutions opposées).
2. Le carré d’un nombre, qu’il soit positif ou négatif, est toujours positif ou nul : il ne peut donc jamais être égal à un nombre négatif comme $-16$. Cette équation n’a aucune solution.
3. Pour la même raison qu’à la question précédente, un carré ne peut pas valoir $-1$ : cette équation n’a aucune solution.

1. Résoudre $x^2 = a$ graphiquement consiste à chercher les points d’intersection entre la courbe de la fonction carré ($y = x^2$) et la droite horizontale $y = a$. Ici, $a = 9$ : il faut donc tracer la droite d’équation $y = 9$.
2. Les abscisses des points où cette droite coupe la courbe sont exactement les solutions de l’équation. Comme $3^2 = 9$ et $(-3)^2 = 9$, la droite $y = 9$ coupe la courbe aux points d’abscisses $-3$ et $3$ : les solutions sont donc $x = -3$ et $x = 3$, ce qui est cohérent avec la méthode analytique du cours.
3. La courbe de la fonction carré reste toujours au-dessus (ou exactement sur) l’axe des abscisses, puisque $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$. Toute droite horizontale $y = a$ avec $a$ strictement négatif se situe donc entièrement en dessous de la courbe et ne peut jamais la couper. On en déduit graphiquement que l’équation $x^2 = a$ n’a aucune solution lorsque $a$ est négatif — une observation qui confirme visuellement la propriété déjà établie par le calcul.

1. L’aire d’un carré de côté $c$ vaut $c^2$. Puisque cette aire doit valoir $128\,\text{cm}^2$, on obtient l’équation $c^2 = 128$.
2. Cette équation a mathématiquement deux solutions opposées, $\sqrt{128}$ et $-\sqrt{128}$, mais seule la solution positive a un sens ici, puisqu’une longueur de côté ne peut pas être négative. On calcule donc $c = \sqrt{128} \approx 11{,}3\,\text{cm}$.
3. Lorsque le côté d’un carré est multiplié par un nombre $k$, son aire (qui vaut $c^2$) est multipliée par $k^2$. Ici, le côté double ($k = 2$), donc l’aire est multipliée par $2^2 = 4$ : la nouvelle aire est $128 \times 4 = 512\,\text{cm}^2$, sans qu’il soit nécessaire de recalculer une racine carrée.