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3e⏱ 4 séances

Résoudre une équation du type x² = a

Ce que tu vas apprendre

  • Résoudre analytiquement une équation du type x² = a
  • Retrouver ce résultat par factorisation, à l'aide d'une identité remarquable
  • Résoudre graphiquement une équation du type x² = a
  • Résoudre des problèmes concrets utilisant la racine carrée
Notions cléséquation x² = adeux solutions opposéesfactorisation par identité remarquablerésolution graphique

1. Résoudre x2=ax^2 = a pour aa positif

Propriété. Pour un nombre aa strictement positif, l’équation x2=ax^2 = a a exactement deux solutions : x=ax = \sqrt{a} et x=−ax = -\sqrt{a}.

Exemple. Résolvons x2=49x^2 = 49. Les solutions sont x=49=7x = \sqrt{49} = 7 et x=−49=−7x = -\sqrt{49} = -7. Vérification : 72=497^2 = 49 et (−7)2=49(-7)^2 = 49. ✓

Attention. Ne pas oublier la solution négative : x2=49x^2 = 49 n’a pas pour seule solution x=7x = 7. En revanche, 49\sqrt{49} désigne, par définition, uniquement le nombre positif 77.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Retrouver la propriété par factorisation

La propriété de la section précédente n’est pas un simple « truc » : on peut la redémontrer avec les outils déjà connus, en factorisant grâce à une identité remarquable (voir le chapitre sur les identités remarquables).

📋 Méthode — Retrouver x = √a ou x = −√a par factorisation
  1. Écrire l’équation sous la forme « … =0= 0 » : x2=ax^2 = a devient x2−a=0x^2 - a = 0.
  2. Remarquer que a=(a)2a = (\sqrt{a})^2 lorsque aa est positif, et reconnaître une différence de deux carrés : x2−(a)2=0x^2 - (\sqrt{a})^2 = 0.
  3. Factoriser avec l’identité remarquable A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = (A-B)(A+B) : (x−a)(x+a)=0(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0.
  4. Résoudre cette équation produit nul (voir le chapitre sur la double distributivité et l’équation produit nul) : x−a=0x - \sqrt{a} = 0 ou x+a=0x + \sqrt{a} = 0, c’est-à-dire x=ax = \sqrt{a} ou x=−ax = -\sqrt{a}.

Exemple. Retrouvons ainsi les solutions de x2=25x^2 = 25. x2=25  ⟺  x2−25=0  ⟺  x2−52=0  ⟺  (x−5)(x+5)=0x^2 = 25 \iff x^2 - 25 = 0 \iff x^2 - 5^2 = 0 \iff (x-5)(x+5) = 0. D’où x−5=0x - 5 = 0 ou x+5=0x + 5 = 0, c’est-à-dire x=5x = 5 ou x=−5x = -5 — exactement les deux solutions opposées annoncées par la propriété.

Remarque. Les deux méthodes (propriété directe de la section 1, ou factorisation de cette section) donnent toujours le même résultat : la factorisation permet simplement de comprendre pourquoi la propriété est vraie, en la ramenant à une technique déjà connue.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Les cas particuliers a=0a = 0 et aa négatif

Propriété. L’équation x2=0x^2 = 0 a une unique solution, x=0x = 0. L’équation x2=ax^2 = a avec aa strictement négatif n’a aucune solution, car le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.

Exemple. L’équation x2=−9x^2 = -9 n’a aucune solution : il n’existe aucun nombre dont le carré vaudrait −9-9.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Résoudre graphiquement x2=ax^2 = a

Méthode. On peut aussi résoudre x2=ax^2 = a graphiquement, en traçant la courbe représentative de la fonction carré (y=x2y = x^2) et la droite horizontale y=ay = a : les abscisses des points d’intersection sont les solutions de l’équation.

📋 Méthode — Résoudre x² = a graphiquement
  1. Tracer (ou observer) la courbe de la fonction carré.
  2. Tracer la droite horizontale d’équation y=ay = a.
  3. Lire les abscisses des points où cette droite coupe la courbe : ce sont les solutions.

Exemple. Pour résoudre x2=4x^2 = 4 graphiquement, on trace y=4y = 4 : cette droite coupe la courbe de la fonction carré aux points d’abscisses −2-2 et 22, qui sont bien les solutions de l’équation.

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Résoudre x² = a graphiquement : deux cas y = 4 −√a √a → 2 solutions a = 4 (a positif) y = −2 → aucune solution a = −2 (a négatif)
Résolution graphique de x² = a : deux points d'intersection quand a est positif, aucun quand a est négatif.

Le schéma ci-dessus illustre les deux cas : quand la droite y=ay = a coupe la courbe en deux points (à gauche, a=4a = 4), on retrouve les deux solutions opposées ; quand la droite passe complètement sous l’axe des abscisses (à droite, a=−2a = -2 négatif), elle ne rencontre jamais la courbe, et l’équation n’a aucune solution — c’est une autre façon de voir la propriété de la section 3.

→ S’entraîner : Exercice 4