3e⏱ 45 minutes

Résoudre une équation du type x² = a — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Résoudre x² = a pour a positif

Résous les équations suivantes.

$x^2 = 64$ (2 points)
$x^2 = 5$ (laisse le résultat avec des racines carrées) (2 points)

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Comme $\sqrt{64} = 8$ (car $8^2 = 64$ ), les solutions sont $x = 8$ ou $x = -8$ .
$5$ n'est pas un carré parfait : on laisse le résultat sous forme de racine carrée. Les solutions sont $x = \sqrt{5}$ ou $x = -\sqrt{5}$ .

Exercice 2 (4 points) — Retrouver la propriété par factorisation

Pour chaque équation, retrouve les solutions en passant par une factorisation (identité remarquable), sans utiliser directement la propriété de la section 1 du cours.

$x^2 = 144$ (2 points)
$x^2 = 7$ (laisse le résultat avec des racines carrées) (2 points)

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$x^2 = 144 \iff x^2 - 144 = 0 \iff x^2 - 12^2 = 0 \iff (x-12)(x+12) = 0$ . D'où $x - 12 = 0$ ou $x + 12 = 0$ , c'est-à-dire $x = 12$ ou $x = -12$ .
$x^2 = 7 \iff x^2 - 7 = 0 \iff x^2 - (\sqrt{7})^2 = 0 \iff (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7}) = 0$ . D'où $x = \sqrt{7}$ ou $x = -\sqrt{7}$ .

Exercice 3 (4 points) — Les cas particuliers

Résous les équations suivantes, ou indique qu'elles n'ont pas de solution.

$x^2 = 0$ (1 point)
$x^2 = -49$ (1,5 point)
$x^2 = -1$ (1,5 point)

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Le seul nombre dont le carré vaut $0$ est $0$ : l'équation admet une unique solution, $x = 0$ .
Un carré est toujours positif ou nul, donc il ne peut jamais valoir $-49$ : cette équation n'a aucune solution.
De même, un carré ne peut pas valoir $-1$ : cette équation n'a aucune solution.

Exercice 4 (4 points) — Résolution graphique

Quelle droite horizontale faut-il tracer pour résoudre graphiquement $x^2 = 16$ ? (1 point)
Donne les solutions lues graphiquement à partir de cette droite. (1 point)
Une camarade veut résoudre $x^2 = -5$ graphiquement. Explique, sans faire de calcul, pourquoi elle ne trouvera aucun point d'intersection. (2 points)

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Il faut tracer la droite horizontale d'équation $y = 16$ .
Comme $4^2 = 16$ et $(-4)^2 = 16$ , cette droite coupe la courbe de la fonction carré aux points d'abscisses $-4$ et $4$ : les solutions sont $x = -4$ et $x = 4$ .
La courbe de la fonction carré est toujours au-dessus (ou sur) l'axe des abscisses, car $x^2 \geqslant 0$ pour tout $x$ . La droite $y = -5$ , elle, se situe entièrement en dessous de cet axe : elle ne peut donc jamais couper la courbe, ce qui confirme graphiquement que $x^2 = -5$ n'a aucune solution.

Exercice 5 (4 points) — Problème

Un carré a une aire de $200\,\text{cm}^2$ .

Écris une équation dont la résolution donnerait la longueur du côté de ce carré. (1 point)
Résous cette équation et donne la valeur du côté arrondie au dixième de centimètre. (2 points)
Vérifie ton résultat : calcule le carré de la valeur arrondie trouvée. Le résultat est-il exactement égal à $200$ ? Explique pourquoi. (1 point)

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L'aire d'un carré de côté $c$ vaut $c^2$ , donc $c^2 = 200$ .
La seule solution ayant un sens ici est la solution positive : $c = \sqrt{200} \approx 14{,}1\,\text{cm}$ .
$14{,}1^2 = 198{,}81$ , ce qui n'est pas exactement égal à $200$ . C'est normal : $14{,}1$ n'est qu'une valeur arrondie au dixième de $\sqrt{200}$ , qui est un nombre dont l'écriture décimale ne s'arrête jamais. Le calcul exact reste $c = \sqrt{200}$ .