Double distributivité et équation produit nul — Exercices d'application

Pour simplifier une expression littérale, on repère un facteur commun apparent au numérateur et au dénominateur, puis on le supprime des deux côtés.

1. Le facteur $2x$ est commun au numérateur ($4x = 2 \times 2x$) et au dénominateur : $\dfrac{4x(x+1)}{2x} = \dfrac{2 \times 2x \times (x+1)}{2x} = 2(x+1)$.
2. On écrit $5x^2 = 5x \times x$ et $10x = 5x \times 2$ : le facteur commun $5x$ se simplifie, laissant $\dfrac{x}{2}$.
3. Le facteur $(x+2)$ tout entier est commun au numérateur et au dénominateur, tout comme le facteur numérique $3$ (car $9 = 3 \times 3$) : $\dfrac{3(x+2)}{9(x+2)} = \dfrac{1}{3}$. On précise que $x$ doit aussi être différent de $-2$, sans quoi le facteur $(x+2)$ s’annulerait et l’on diviserait par zéro.

Pour développer un produit de deux sommes, on applique la double distributivité en croisant chaque terme de la première parenthèse avec chaque terme de la seconde, puis on réduit en regroupant les termes semblables.

1. $(x+2)(x+4) = x \times x + x \times 4 + 2 \times x + 2 \times 4 = x^2 + 4x + 2x + 8$. En réduisant les termes en $x$ ($4x + 2x = 6x$) : $x^2 + 6x + 8$.
2. $(x-3)(x+5) = x^2 + 5x - 3x - 15$. En réduisant ($5x - 3x = 2x$) : $x^2 + 2x - 15$.
3. $(2x+1)(x-3) = 2x^2 - 6x + x - 3$. En réduisant ($-6x + x = -5x$) : $2x^2 - 5x - 3$.

Dans chaque expression, une parenthèse entière apparaît comme facteur commun aux deux termes : on la met en évidence, puis on regroupe ce qu’il reste de chaque terme dans une seconde parenthèse.

1. Le facteur $(x+1)$ apparaît dans les deux termes : $(x+1)(2x-5) + 3(x+1) = (x+1)\big[(2x-5) + 3\big]$. On réduit l’intérieur de la seconde parenthèse : $(2x-5) + 3 = 2x - 2$. Résultat final : $(x+1)(2x-2)$.
2. Le facteur $(x+4)$ apparaît dans les deux termes (le second terme, $-(x+4)$, correspond à $-1 \times (x+4)$) : $(3x-2)(x+4) - (x+4) = (x+4)\big[(3x-2) - 1\big]$. On réduit : $(3x-2) - 1 = 3x - 3$. Résultat final : $(x+4)(3x-3)$.
3. Le facteur $(x+7)$ apparaît dans les deux termes : $x(x+7) - 5(x+7) = (x+7)(x - 5)$.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul : on résout donc séparément chaque facteur égalé à zéro, et l’on rassemble toutes les solutions trouvées.

1. Soit $x - 4 = 0$, ce qui donne $x = 4$ ; soit $x + 2 = 0$, ce qui donne $x = -2$. Les solutions de l’équation sont donc $x = 4$ et $x = -2$.
2. Soit $3x + 6 = 0$, donc $3x = -6$, donc $x = -2$ ; soit $2x - 8 = 0$, donc $2x = 8$, donc $x = 4$. Les solutions sont donc $x = -2$ et $x = 4$.
3. Soit $x = 0$ directement ; soit $x - 9 = 0$, ce qui donne $x = 9$. Les solutions sont donc $x = 0$ et $x = 9$.

1. L’aire du massif est le produit de sa longueur par sa largeur : $(x+6)(x-2)$. Pour qu’elle soit nulle, on pose l’équation produit nul : $(x+6)(x-2) = 0$.
2. Soit $x + 6 = 0$, donc $x = -6$ ; soit $x - 2 = 0$, donc $x = 2$. Les solutions mathématiques sont donc $x = -6$ et $x = 2$.
3. Dans le contexte du problème, $x$ doit être tel que les deux dimensions du massif — $(x+6)$ et $(x-2)$ — restent des longueurs positives ou nulles. Or pour $x = -6$, la longueur $(x+6)$ vaut exactement $0$, ce qui est une limite ; et pour des valeurs de $x$ inférieures à $-6$, cette même longueur deviendrait strictement négative, ce qui n’a pas de sens pour un massif réel. Seule la solution $x = 2$ correspond donc à une configuration géométriquement valide (à la limite, puisque la largeur y est alors nulle).
4. La largeur du massif, $(x - 2)$, s’annule précisément pour $x = 2$. En dessous de cette valeur, la largeur deviendrait négative, ce qui est impossible : le massif n’a donc un sens géométrique que pour $x > 2$.

1. Le facteur commun $3x$ apparaît dans les deux termes : $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. L’équation devient $3x(x-2) = 0$ : soit $3x = 0$ (donc $x = 0$), soit $x - 2 = 0$ (donc $x = 2$). Les solutions sont $x = 0$ et $x = 2$.
2. On reconnaît une différence de deux carrés : $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. L’équation devient $(x-4)(x+4) = 0$ : soit $x - 4 = 0$ (donc $x = 4$), soit $x + 4 = 0$ (donc $x = -4$). Les solutions sont $x = 4$ et $x = -4$.
3. Le facteur commun $x$ apparaît dans les deux termes : $2x^2 + 5x = x(2x + 5)$. L’équation devient $x(2x+5) = 0$ : soit $x = 0$, soit $2x + 5 = 0$ (donc $x = -\dfrac{5}{2}$). Les solutions sont $x = 0$ et $x = -\dfrac{5}{2}$.
4. On reconnaît une différence de deux carrés : $9x^2 = (3x)^2$ et $4 = 2^2$, donc $9x^2 - 4 = (3x-2)(3x+2)$. L’équation devient $(3x-2)(3x+2) = 0$ : soit $3x - 2 = 0$ (donc $x = \dfrac{2}{3}$), soit $3x + 2 = 0$ (donc $x = -\dfrac{2}{3}$). Les solutions sont $x = \dfrac{2}{3}$ et $x = -\dfrac{2}{3}$.