Double distributivité et équation produit nul — Entraînement type évaluation

Le facteur $4x$ est commun au numérateur ($8x = 2 \times 4x$) et au dénominateur : $\dfrac{8x(x+3)}{4x} = \dfrac{2 \times 4x \times (x+3)}{4x} = 2(x+3)$.

1. $(x+7)(x-2) = x \times x - x \times 2 + 7 \times x - 7 \times 2 = x^2 - 2x + 7x - 14$. En réduisant ($-2x + 7x = 5x$) : $x^2 + 5x - 14$.
2. $(3x-1)(x+2) = 3x \times x + 3x \times 2 - 1 \times x - 1 \times 2 = 3x^2 + 6x - x - 2$. En réduisant ($6x - x = 5x$) : $3x^2 + 5x - 2$.

1. Le facteur $(x+5)$ apparaît dans les deux termes : $(x+5)(2x-3) + 4(x+5) = (x+5)\big[(2x-3) + 4\big]$. On réduit l'intérieur : $(2x-3) + 4 = 2x + 1$. Résultat final : $(x+5)(2x+1)$.
2. Le facteur $(x-6)$ apparaît dans les deux termes (le second terme, $-(x-6)$, correspond à $-1 \times (x-6)$) : $(4x+1)(x-6) - (x-6) = (x-6)\big[(4x+1) - 1\big]$. On réduit : $(4x+1) - 1 = 4x$. Résultat final : $(x-6)(4x)$, que l'on peut aussi écrire $4x(x-6)$.

1. Soit $x - 7 = 0$, ce qui donne $x = 7$ ; soit $x + 5 = 0$, ce qui donne $x = -5$. Les solutions sont $x = 7$ et $x = -5$.
2. Soit $4x + 8 = 0$, donc $4x = -8$, donc $x = -2$ ; soit $x - 1 = 0$, donc $x = 1$. Les solutions sont $x = -2$ et $x = 1$.

1. Le facteur commun $5x$ apparaît dans les deux termes : $5x^2 - 10x = 5x(x - 2)$. L'équation devient $5x(x-2) = 0$ : soit $5x = 0$ (donc $x = 0$), soit $x - 2 = 0$ (donc $x = 2$). Les solutions sont $x = 0$ et $x = 2$.
2. On reconnaît une différence de deux carrés : $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$. L'équation devient $(x-6)(x+6) = 0$ : soit $x - 6 = 0$ (donc $x = 6$), soit $x + 6 = 0$ (donc $x = -6$). Les solutions sont $x = 6$ et $x = -6$.