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Double distributivité et équation produit nul

Ce que tu vas apprendre

Simplifier des expressions produits ou des rapports comportant des facteurs communs
Utiliser la double distributivité pour développer une expression
Factoriser une expression grâce à un facteur commun apparent
Résoudre une équation produit nul
Factoriser une équation avant de la résoudre comme un produit nul

Notions clésdouble distributivitéexpression développée, factoriséeéquation produit nul

1. Simplifier des expressions avec des facteurs communs

Méthode. Comme pour les fractions numériques, on peut simplifier une expression littérale en repérant un facteur commun apparent au numérateur et au dénominateur.

Exemple. Simplifions $\dfrac{6x(x+2)}{3x}$ , pour $x \neq 0$ . Le facteur commun $3x$ se simplifie : $\dfrac{6x(x+2)}{3x} = \dfrac{2 \times 3x \times (x+2)}{3x} = 2(x+2)$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. La double distributivité

Propriété (double distributivité). Pour développer un produit de deux sommes, $(a + b)(c + d)$ , on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Exemple. Développons $(x + 3)(x + 5)$ . On applique la double distributivité : $(x + 3)(x + 5) = x \times x + x \times 5 + 3 \times x + 3 \times 5 = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$ après réduction.

Attention. Un piège fréquent est d’oublier l’un des quatre produits : il faut systématiquement croiser chaque terme de la première parenthèse avec chaque terme de la seconde, jamais seulement les termes « alignés ».

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Factoriser avec un facteur commun apparent

📋 Méthode — Factoriser une expression avec un facteur commun apparent

Repérer un facteur qui apparaît dans chacun des termes de l’expression (ce peut être une expression entière entre parenthèses, pas seulement un nombre).
Écrire ce facteur commun devant une parenthèse.
À l’intérieur de la parenthèse, écrire ce qui reste de chaque terme une fois le facteur commun retiré.

Exemple. Factorisons $(x+2)(3x-1) - 5(x+2)$ . Le facteur $(x+2)$ est commun aux deux termes : $(x+2)(3x-1) - 5(x+2) = (x+2)\big[(3x-1) - 5\big] = (x+2)(3x - 6)$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Résoudre une équation produit nul

Propriété. Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Cette propriété permet de résoudre une équation produit nul, de la forme $(ax + b)(cx + d) = 0$ .

📋 Méthode — Résoudre une équation produit nul

Vérifier que l’équation est bien écrite sous la forme d’un produit de facteurs égal à $0$ (factoriser si nécessaire).
Résoudre séparément chaque équation obtenue en annulant chaque facteur.
Rassembler toutes les solutions trouvées : ce sont toutes les solutions de l’équation produit nul.

Exemple. Résolvons $(2x - 6)(x + 3) = 0$ . Ce produit est nul si $2x - 6 = 0$ (donc $x = 3$ ) ou si $x + 3 = 0$ (donc $x = -3$ ). Les solutions sont donc $x = 3$ et $x = -3$ .

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Factoriser avant de résoudre une équation produit nul

Une équation n’est pas toujours donnée directement sous forme de produit : il faut alors la factoriser d’abord, en réutilisant l’une des méthodes déjà connues (facteur commun de la section 3, ou une identité remarquable), avant d’appliquer la méthode de la section précédente.

Deux chemins possibles pour se ramener à une équation produit nul : le facteur commun, ou une identité remarquable.

Exemple (facteur commun). Résolvons $4x^2 + x = 0$ . On factorise d’abord en repérant le facteur commun $x$ : $4x^2 + x = x(4x + 1)$ . L’équation devient $x(4x+1) = 0$ , qui se résout comme une équation produit nul : $x = 0$ ou $4x + 1 = 0$ (donc $x = -\dfrac{1}{4}$ ).

Exemple (identité remarquable). Résolvons $x^2 - 25 = 0$ . On reconnaît une différence de deux carrés (vue au chapitre précédent) : $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ . L’équation devient $(x-5)(x+5) = 0$ , qui se résout comme une équation produit nul : $x = 5$ ou $x = -5$ .

Astuce. Face à une équation, si elle n’est pas déjà sous forme de produit, la première question à se poser est toujours : « comment factoriser cette expression ? » avant même de penser à résoudre quoi que ce soit.

→ S’entraîner : Exercice 5