La boule et la sphère — Exercices d'application

1. Le diamètre vaut toujours le double du rayon : $d = 2 \times r = 2 \times 8 = 16\,\text{cm}$.
2. La sphère désigne uniquement l’enveloppe extérieure, c’est-à-dire l’ensemble des points de l’espace situés exactement à la distance $r$ du centre. La boule désigne le solide plein correspondant, c’est-à-dire la sphère et tout ce qu’elle contient à l’intérieur.
3. Oui. Par définition, un grand cercle d’une sphère est obtenu en coupant cette sphère par un plan passant par son centre : son rayon est alors exactement égal à celui de la sphère, soit $12\,\text{cm}$ ici.

1. Un plan perpendiculaire à l’axe d’un cylindre le coupe exactement comme sa base : la section obtenue est donc un disque, identique à cette base.
2. Un plan parallèle à une face d’un pavé droit reproduit exactement cette face en la coupant : la section obtenue est donc un rectangle, identique à cette face.
3. La section est nécessairement plus petite qu’un grand cercle. En effet, le grand cercle est la section la plus large possible d’une sphère, obtenue uniquement lorsque le plan de coupe passe exactement par le centre ; tout plan qui s’en écarte, même légèrement, coupe la sphère plus près de sa surface et produit donc un cercle plus petit.

On applique à chaque fois la formule $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$.

1. $V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 3^3 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 27 = \dfrac{339{,}12}{3} = 113{,}04\,\text{cm}^3$.
2. $V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 9^3 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 729 = \dfrac{9\,160{,}56}{3} \approx 3\,053{,}52\,\text{cm}^3$.
3. Le rayon est la moitié du diamètre : $r = 10 \div 2 = 5\,\text{cm}$. On applique ensuite la formule : $V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 5^3 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 125 \approx 523{,}3\,\text{cm}^3$.

1. On calcule d’abord le rayon à partir du diamètre : $r = 2 \div 2 = 1\,\text{cm}$. Le volume est alors $V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1^3 = \dfrac{12{,}56}{3} \approx 4{,}19\,\text{cm}^3$.
2. Pour convertir un volume en coût, on multiplie par le prix au centimètre cube : $4{,}19 \times 0{,}02 \approx 0{,}0838$ €, que l’on arrondit à $0{,}08$ €.
3. Pour le lot, on ne multiplie pas le coût déjà arrondi (l’erreur serait multipliée par $500$) : on calcule le volume total, $500 \times \dfrac{12{,}56}{3} \approx 2\,093{,}3\,\text{cm}^3$, puis le coût : $2\,093{,}3 \times 0{,}02 \approx 41{,}9$ €, soit environ $42$ €. (Avec le coût arrondi, on aurait trouvé $40$ €, soit près de $2$ € d’écart : on n’arrondit qu’à la fin.)

1. Une sphère inscrite dans un cube touche chaque face en son centre : la distance entre deux faces opposées du cube (son arête) correspond donc exactement au diamètre de la sphère. Comme le diamètre vaut $2 \times 6 = 12\,\text{cm}$, l’arête du cube mesure aussi $12\,\text{cm}$.
2. Le volume d’un cube se calcule avec $V = \text{arête}^3$ : $12^3 = 1\,728\,\text{cm}^3$.
3. On applique la formule du volume de la boule : $V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 6^3 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 216 \approx 904{,}3\,\text{cm}^3$.
4. L’espace vide correspond à ce qu’il reste du cube une fois la boule retirée : on soustrait donc le volume de la boule à celui du cube : $1\,728 - 904{,}3 \approx 823{,}7\,\text{cm}^3$, que l’on arrondit à $824\,\text{cm}^3$. Pour exprimer ce volume en pourcentage du cube, on divise par le volume total du cube et l’on multiplie par $100$ : $\dfrac{824}{1\,728} \times 100 \approx 48\,\%$ du volume du cube reste donc vide autour de la boule inscrite.

1. Le rayon est $11\,\text{cm}$ : $\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 11^2 = 484\pi\, \text{cm}^2 \approx 484 \times 3{,}14 = 1\,519{,}76$, soit environ $1\,520\,\text{cm}^2$.
2. Un grand cercle a pour aire $\pi \times 11^2 = 121\pi \approx 379{,}94\,\text{cm}^2$ ; $4 \times 379{,}94 = 1\,519{,}76\,\text{cm}^2$ : on retrouve le même résultat. ✓
3. $\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi \approx 113{,}04\,\text{m}^2$. Il faut $\dfrac{113{,}04}{10} \approx 11{,}3$ pots : comme on ne peut acheter qu’un nombre entier de pots, il en faut $12$.

1. En coupe, on voit un grand cercle de centre $O$ et de rayon $5$, la trace du plan (une corde perpendiculaire à $OH$, avec $H$ le pied de la perpendiculaire) et le triangle $OHM$, rectangle en $H$, où $M$ est un point du bord de la section : $OH = 3$, $OM = 5$ (rayon de la boule), $HM = r$ (rayon de la section).
2. Pythagore : $r^2 = OM^2 - OH^2 = 25 - 9 = 16$, donc $r = 4\,\text{cm}$.
3. L’aire du disque de section est $\pi \times 4^2 = 16\pi \approx 50{,}24$, soit environ $50\,\text{cm}^2$.
4. À $4\,\text{cm}$ : $r^2 = 25 - 16 = 9$, donc $r = 3\,\text{cm}$. À $5\,\text{cm}$ : $r^2 = 25 - 25 = 0$, donc $r = 0$ : le plan touche la boule en un seul point. Plus le plan s’éloigne du centre, plus la section est petite, et au-delà de $5\,\text{cm}$ le plan ne coupe plus la boule.

1. Le cylindre a pour hauteur le diamètre de la boule, soit $12\,\text{cm}$, et pour rayon celui de la boule, soit $6\,\text{cm}$.
2. $V_{\text{cylindre}} = \pi \times 6^2 \times 12 = 432\pi\,\text{cm}^3$ et $V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = 288\pi\,\text{cm}^3$.
3. $\dfrac{288\pi}{432\pi} = \dfrac{288}{432} = \dfrac{2}{3}$ : la boule occupe exactement les deux tiers du cylindre (résultat d’Archimède, valable pour tout rayon).
4. Le vide vaut $432\pi - 288\pi = 144\pi \approx 144 \times 3{,}14 = 452{,}16$, soit environ $452\,\text{cm}^3$ (un tiers du cylindre).

1. $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi$, donc $r^3 = 36 \times \dfrac{3}{4} = 27$ et $r = 3\, \text{cm}$.
2. $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{32}{3}\pi$, donc $4r^3 = 32$, $r^3 = 8$ et $r = 2\,\text{cm}$.
3. $4{,}19\,\text{L} = 4\,190\,\text{cm}^3$. Or $\dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times r^3 = 4\,190$ donne $r^3 \approx 1\,000$, donc $r \approx 10\,\text{cm}$ (car $10^3 = 1\,000$). Le rayon est proche de $10\,\text{cm}$ : avec $1\,\text{cm}$ on n’aurait que $4{,}19\,\text{cm}^3$, et avec $100\,\text{cm}$ plus de $4\,000\,\text{L}$.
4. L’aire est multipliée par $3^2 = 9$ et le volume par $3^3 = 27$. Vérification : le volume de la boule de rayon $9$ est $\dfrac{4}{3}\pi \times 9^3 = 972\pi$, et $27 \times 36\pi = 972\pi$. ✓