La boule et la sphère

1. Définir la boule et la sphère

Définition. La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points de l’espace situés exactement à la distance $r$ du point $O$. La boule de centre $O$ et de rayon $r$ est la sphère et tout son intérieur.

Définition. Un grand cercle d’une sphère est un cercle obtenu en coupant la sphère par un plan passant par son centre $O$ ; son rayon est égal au rayon de la sphère, et son diamètre est égal au diamètre de la sphère.

Exemple. Une sphère de rayon $5\,\text{cm}$ a un diamètre de $10\,\text{cm}$ ; tout grand cercle de cette sphère a lui aussi un rayon de $5\,\text{cm}$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Réaliser des sections de solides

Définition. Une section d’un solide est la figure plane obtenue en coupant ce solide par un plan.

Exemple. La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face rectangulaire donne un rectangle identique à cette face. La section d’un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe donne un disque identique à sa base.

Propriété (pyramide et cône). La section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base : même forme, mêmes angles, côtés (ou rayon) proportionnels. Sa taille diminue à mesure que le plan se rapproche du sommet.

Propriété. Toute section d’une boule par un plan est un disque (et celle d’une sphère est un cercle) ; ce disque est le plus grand possible (un grand cercle) lorsque le plan de coupe passe par le centre, et devient de plus en plus petit à mesure que le plan s’éloigne du centre.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Le volume de la boule

Propriété. Le volume d’une boule de rayon $r$ vaut $$V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3$$

Exemple. Une boule a un rayon de $6\,\text{cm}$. Son volume est $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 216 = 288\pi \,\text{cm}^3$ (valeur exacte). Avec la touche $\pi$ de la calculatrice, $V \approx 904{,}8\,\text{cm}^3$ ; avec $\pi \approx 3{,}14$, on obtient $904{,}3\,\text{cm}^3$ : selon la valeur de $\pi$ utilisée, les arrondis diffèrent légèrement.

Astuce. Il ne faut jamais oublier le facteur $\dfrac{4}{3}$ dans cette formule, une erreur fréquente étant de la confondre avec le volume du cylindre ($\pi r^2 h$) ou du cône ($\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$).

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Résoudre des problèmes avec la boule et la sphère

Exemple. Un ballon sphérique a un diamètre de $22\,\text{cm}$, donc un rayon de $11\,\text{cm}$. Son volume est $V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 11^3 \approx 5\,575\,\text{cm}^3$, soit environ $5{,}6\,\text{L}$.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. L’aire d’une sphère

Propriété. L’aire d’une sphère de rayon $r$ vaut $$\mathcal{A} = 4 \times \pi \times r^2$$ C’est quatre fois l’aire d’un grand cercle (qui vaut $\pi r^2$).

Exemple. Une sphère de rayon $6\,\text{cm}$ a pour aire $\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 6^2 = 144\pi\,\text{cm}^2$ (valeur exacte), soit environ $452{,}4\,\text{cm}^2$.

Attention. Une aire s’exprime en unités carrées ($\text{cm}^2$), un volume en unités cubiques ($\text{cm}^3$) : le rayon est au carré dans l’aire et au cube dans le volume.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Le rayon d’une section de boule

Propriété. Soit une boule de centre $O$ et de rayon $R$, coupée par un plan situé à la distance $d$ de $O$ (avec $d < R$). Soit $H$ le pied de la perpendiculaire à ce plan issue de $O$, et $M$ un point du bord de la section. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, avec $OH = d$, $OM = R$ et $HM = r$ le rayon de la section. D’après le théorème de Pythagore : $$r^2 = R^2 - d^2$$

Exemple. Boule de rayon $R = 5\,\text{cm}$ coupée à $d = 3\,\text{cm}$ du centre : $r^2 = 5^2 - 3^2 = 16$, donc $r = 4\,\text{cm}$. Si $d = 0$ (plan par le centre), on retrouve $r = R$ : c’est un grand cercle. Si $d = R$, le plan touche la boule en un seul point.

→ S’entraîner : Exercice 7

7. Comparer des volumes et chercher le rayon

Méthode (retrouver le rayon). Quand on connaît le volume $V$, on résout $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = V$, soit $r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}$, puis on cherche le nombre dont le cube vaut ce résultat.

Exemple. Une boule a pour volume $36\pi\,\text{cm}^3$. Alors $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi$, donc $r^3 = 36 \times \dfrac{3}{4} = 27$ et $r = 3\,\text{cm}$ (car $3^3 = 27$).

Propriété (agrandissement). Si on multiplie le rayon d’une boule par $k$, son aire est multipliée par $k^2$ et son volume par $k^3$. Par exemple, en doublant le rayon, l’aire est multipliée par $4$ et le volume par $8$.

Propriété (Archimède). Une boule de rayon $r$ inscrite dans un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $2r$ a un volume égal aux deux tiers de celui du cylindre : $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3} \times (\pi r^2 \times 2r)$.

→ S’entraîner : Exercices 8 et 9