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3e⏱ 50 minutes

La boule et la sphère — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé. On prend π≈3,14\pi \approx 3{,}14 sauf indication contraire.

Barème indicatif : 20 points.

Exercice 1 (4 points) — Volume d'une boule

Une boule a un diamètre de 18 cm18\,\text{cm}.

  1. Quel est son rayon ? (0,5 point)
  2. Calcule son volume en fonction de π\pi (valeur exacte). (2 points)
  3. Donne une valeur approchée de ce volume à l'unité près. (1,5 point)
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  1. r=18÷2=9 cmr = 18 \div 2 = 9\,\text{cm}.
  2. V=43×π×93=43×π×729=972π cm3V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 9^3 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 729 = 972\pi\, \text{cm}^3.
  3. V≈972×3,14=3 052,08V \approx 972 \times 3{,}14 = 3\,052{,}08, soit environ 3 052 cm33\,052\,\text{cm}^3.

Exercice 2 (4 points) — Aire d'une sphère

Une sphère a un diamètre de 14 cm14\,\text{cm}.

  1. Calcule son aire en fonction de π\pi. (2 points)
  2. Donne une valeur approchée à l'unité près. (1 point)
  3. Quel est le rapport entre l'aire de cette sphère et l'aire d'un de ses grands cercles ? (1 point)
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  1. Le rayon est 7 cm7\,\text{cm} : A=4×π×72=196π cm2\mathcal{A} = 4 \times \pi \times 7^2 = 196\pi\,\text{cm}^2.
  2. 196×3,14=615,44196 \times 3{,}14 = 615{,}44, soit environ 615 cm2615\,\text{cm}^2.
  3. Un grand cercle a pour aire π×72=49π\pi \times 7^2 = 49\pi : le rapport vaut 196π49π=4\dfrac{196\pi}{49\pi} = 4. L'aire de la sphère est quatre fois celle d'un grand cercle.

Exercice 3 (4 points) — Section d'une boule

Une boule de centre OO a un rayon de 13 cm13\,\text{cm}. Un plan coupe cette boule à 12 cm12\,\text{cm} de OO.

  1. Fais un schéma en coupe et repère le triangle rectangle utile. (1 point)
  2. Calcule le rayon de la section. (2 points)
  3. Calcule l'aire de la section. (1 point)
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  1. En coupe : grand cercle de centre OO et de rayon 1313, plan de coupe à distance OH=12OH = 12 de OO ; MM un point du bord de la section. Le triangle OHMOHM est rectangle en HH avec OM=13OM = 13 et OH=12OH = 12.
  2. Pythagore : r2=HM2=132−122=169−144=25r^2 = HM^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25, donc r=5 cmr = 5\,\text{cm}.
  3. A=π×52=25π≈78,5 cm2\mathcal{A} = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5\,\text{cm}^2.

Exercice 4 (4 points) — Problème : le ballon de basket

Un ballon de basket est assimilé à une sphère de diamètre 24 cm24\,\text{cm}.

  1. Calcule son volume en cm3\text{cm}^3, puis en litres (arrondi au dixième). (2,5 points)
  2. Calcule l'aire de cuir nécessaire pour le recouvrir (arrondie à l'unité). (1,5 point)
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  1. Le rayon vaut 12 cm12\,\text{cm}. V=43×3,14×123=43×3,14×1 728=4×3,14×576=7 234,56 cm3V = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 12^3 = \dfrac{4}{3} \times 3{,}14 \times 1\,728 = 4 \times 3{,}14 \times 576 = 7\,234{,}56\,\text{cm}^3. Comme 1 L=1 000 cm31\,\text{L} = 1\,000\,\text{cm}^3, V≈7,2 LV \approx 7{,}2\,\text{L}.
  2. A=4×3,14×122=4×3,14×144=1 808,64\mathcal{A} = 4 \times 3{,}14 \times 12^2 = 4 \times 3{,}14 \times 144 = 1\,808{,}64, soit environ 1 809 cm21\,809\,\text{cm}^2.

Exercice 5 (4 points) — Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse et justifie.

  1. Un grand cercle d'une sphère a le même rayon que la sphère. (1 point)
  2. Si on double le rayon d'une boule, son volume double. (1 point)
  3. La section d'une boule par un plan est toujours un disque (ou un point). (1 point)
  4. La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un rectangle. (1 point)
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  1. Vrai. Un grand cercle est obtenu en coupant par un plan passant par le centre : son rayon est celui de la sphère.
  2. Faux. Si le rayon est multiplié par 22, le volume est multiplié par 23=82^3 = 8.
  3. Vrai. La section d'une boule par un plan est un disque ; elle se réduit à un point si le plan est tangent à la boule.
  4. Faux. La section d'un cylindre par un plan parallèle à sa base est un disque identique à la base (c'est un rectangle si le plan est parallèle à l'axe).