Seconde

Algorithmique et programmation en Python — Exercices d'application

1. Variables, types et affectation

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Exercice 1 — ⭐

Donne le type de chacune des valeurs : 12, 12.0, "12", 12 > 5, 12 / 4.
Calcule 17 // 5, 17 % 5 et 2 ** 5.
Quelles sont les valeurs de x et y après ces instructions ?
```
x = 3
y = 8
t = x
x = y
y = t
```
À quoi sert la variable t ?

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int, float, str, bool, float (une division / donne toujours un flottant : 3.0).
17 // 5 vaut 3, 17 % 5 vaut 2 (car $17 = 5 \times 3 + 2$ ), 2 ** 5 vaut 32.
x vaut 8 et y vaut 3 : les valeurs ont été échangées. La variable t sert à garder l’ancienne valeur de x, qui serait sinon perdue à la ligne x = y.

2. Instructions conditionnelles

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Exercice 2 — ⭐⭐

On reprend la fonction mention du cours.

Que renvoient mention(17), mention(13.5) et mention(9.99) ?

Un élève écrit la version ci-dessous. Que renvoie mention2(17) ? Explique l’erreur.

def mention2(note):
    if note >= 10:
        return "Passable"
    elif note >= 16:
        return "Très bien"
    else:
        return "Insuffisant"

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"Très bien", "Assez bien", "Insuffisant".
mention2(17) renvoie "Passable" : la première condition 17 >= 10 est vraie, donc Python exécute ce bloc et ne teste jamais note >= 16. Il faut tester les conditions de la plus exigeante à la moins exigeante.

Exercice 3 — ⭐⭐

Une année est bissextile si elle est divisible par $4$ mais pas par $100$ , ou si elle est divisible par $400$ .

Les années $2024$ , $2026$ , $1900$ et $2000$ sont-elles bissextiles ?
Explique le rôle de annee % 4 == 0 dans la fonction est_bissextile du cours.
Écris une fonction nb_jours(annee) qui renvoie le nombre de jours de l’année ( $365$ ou $366$ ), en utilisant est_bissextile.

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$2024$ : oui. $2026$ : non (pas divisible par $4$ ). $1900$ : non (divisible par $100$ mais pas par $400$ ). $2000$ : oui (divisible par $400$ ).
annee % 4 est le reste de la division de annee par $4$ ; il vaut $0$ exactement quand l’année est divisible par $4$ . C’est un booléen.

def nb_jours(annee):
    if est_bissextile(annee):
        return 366
    else:
        return 365

3. Boucles bornées

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Exercice 4 — ⭐

Quelles valeurs parcourent range(5), range(2, 7) et range(0, 20, 5) ?
Écris un programme qui calcule la somme $1^2 + 2^2 + \cdots + 10^2$ . Quelle valeur obtiens-tu ?
Écris une boucle qui affiche la table de multiplication de $7$ (de $7 \times 1$ à $7 \times 10$ ).

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0, 1, 2, 3, 4 ; 2, 3, 4, 5, 6 ; 0, 5, 10, 15.

s = 0
for k in range(1, 11):
    s = s + k**2

On obtient

385

.

for k in range(1, 11):
    print(7, "x", k, "=", 7 * k)

Exercice 5 — ⭐⭐

La factorielle de $n$ est $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$ . Écris une fonction factorielle(n) avec une boucle for. Vérifie que factorielle(5) renvoie 120.
Un capital de $1\,000$ € est placé à $2\,\%$ par an. Écris une boucle qui calcule le capital au bout de $10$ ans. Quel calcul direct aurait-on pu faire ?

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```
def factorielle(n):
    r = 1
    for k in range(1, n + 1):
        r = r * k
    return r
```
L’accumulateur d’un produit s’initialise à $1$ $1$ (et non à $0$ $0$ ). factorielle(5) renvoie $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ .
```
c = 1000
for i in range(10):
    c = c * 1.02
```
On obtient environ $1\,218{,}99$ $1218, 99$ €. Calcul direct : $1\,000 \times 1{,}02^{10}$ $1000 \times 1, 0 2^{10}$ .

4. Boucles non bornées

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Exercice 6 — ⭐⭐

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1 + 2 + \cdots + n > 1\,000$ .

Complète la fonction :

def seuil_somme(M):
    s = 0
    n = 0
    while ...:
        n = n + 1
        s = s + n
    return n

Que renvoie seuil_somme(1000) ? Vérifie avec la formule $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

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On continue tant que la somme n’a pas dépassé $M$ : while s <= M:.
La fonction renvoie 45. Vérification : $\dfrac{44 \times 45}{2} = 990 \leqslant 1\,000$ et $\dfrac{45 \times 46}{2} = 1\,035 > 1\,000$ .

Exercice 7 — ⭐⭐

On considère le programme :

x = 100
n = 0
while x > 1:
    x = x / 2
    n = n + 1

Fais-le tourner à la main en notant les valeurs successives de x et n.
Quelles sont les valeurs de x et de n à la fin ? Interprète n.
Que se passerait-il si l’on remplaçait x = x / 2 par x = x * 2 ?

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x : $100 \to 50 \to 25 \to 12{,}5 \to 6{,}25 \to 3{,}125 \to 1{,}5625 \to 0{,}78125$ ; n : $0 \to 1 \to \cdots \to 7$ .
x vaut $0{,}78125$ et n vaut $7$ : il faut diviser $7$ fois $100$ par $2$ pour passer sous $1$ (car $2^6 = 64 < 100 < 128 = 2^7$ ).
x augmenterait sans cesse : la condition x > 1 resterait toujours vraie, et la boucle ne s’arrêterait jamais (boucle infinie).

5. Fonctions

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Exercice 8 — ⭐⭐⭐

La suite de Syracuse d’un entier $n \geqslant 1$ : si $n$ est pair, on le divise par $2$ ; sinon, on le remplace par $3n + 1$ . On recommence jusqu’à obtenir $1$ .

Écris la suite obtenue à partir de $n = 6$ .
Écris une fonction syracuse(n) qui renvoie le nombre d’étapes nécessaires pour atteindre $1$ .
Que renvoie syracuse(6) ? Et syracuse(7) ?

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$6 \to 3 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$ .

def syracuse(n):
    etapes = 0
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        etapes = etapes + 1
    return etapes

syracuse(6) renvoie 8 (on compte les flèches de la question 1). syracuse(7) renvoie 16. (Personne n’a jamais démontré que cette boucle s’arrête pour tout entier $n$ : c’est un problème ouvert célèbre !)

6. Fonctions et hasard

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Exercice 9 — ⭐⭐

Écris une fonction somme_deux_des() qui renvoie la somme de deux dés équilibrés.
Écris une fonction frequence_sept(N) qui simule $N$ lancers de deux dés et renvoie la fréquence de la somme $7$ .
Autour de quelle valeur les résultats de frequence_sept(10000) devraient-ils se situer ? Justifie avec le tableau des sommes.

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from random import randint

def somme_deux_des():
    return randint(1, 6) + randint(1, 6)

(Attention : randint(2, 12) ne convient pas, car les sommes ne sont pas équiprobables.)

def frequence_sept(N):
    compteur = 0
    for i in range(N):
        if somme_deux_des() == 7:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / N

La somme $7$ correspond à $6$ cases sur $36$ : $P = \dfrac16 \approx 0{,}167$ . Les fréquences obtenues (par exemple $0{,}1686$ ) varient d’une exécution à l’autre, autour de cette valeur.