Première⏱ 1 heure

Produit scalaire — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Que vaut $\cos 120°$ ?
Que vaut $\cos\dfrac\pi4$ ?
$\|\vec u\| = 2$ . Que vaut $\vec u \cdot \vec u$ ?
$\vec u \cdot \vec v = 0$ et les deux vecteurs sont non nuls. Que peut-on dire de $\vec u$ et $\vec v$ ?
Développe $(a - b)^2$ .
L'angle $(\vec u, \vec v)$ est obtus. Quel est le signe de $\vec u \cdot \vec v$ ?
Calcule $3^2 + 4^2$ .
Simplifie $\sqrt{76}$ .

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$-\dfrac12$ .
$\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
$4$ .
Ils sont orthogonaux.
$a^2 - 2ab + b^2$ .
Négatif.
$25$ .
$2\sqrt{19}$ .

Exercice 2 (5 points) — Al-Kashi

Démontre que, dans un triangle $ABC$ , $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$ . (2,5 points)
Dans un triangle $ABC$ , $AB = 3$ , $AC = 5$ et $\widehat{BAC} = 60°$ . Calcule la valeur exacte de $BC$ . (1,5 point)
Quelle formule retrouve-t-on lorsque $\widehat{BAC} = 90°$ ? (1 point)

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$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ , donc $BC^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + AB^2$ . Or $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos\widehat{BAC}$ , d'où la formule.
$BC^2 = 9 + 25 - 2 \times 3 \times 5 \times \dfrac12 = 34 - 15 = 19$ , donc $BC = \sqrt{19}$ .
$\cos 90° = 0$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , c'est le théorème de Pythagore.

Exercice 3 (5 points) — Dans un rectangle

$ABCD$ est un rectangle avec $AB = 4$ et $AD = 2$ . $I$ est le milieu de $[AB]$ .

Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ à l'aide d'une projection orthogonale. (1,5 point)
Justifie que $\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AD}$ . (1 point)
Calcule $\overrightarrow{IC} \cdot \overrightarrow{ID}$ . Que peut-on en déduire pour le triangle $CID$ ? (2,5 points)

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Le projeté de $C$ sur $(AB)$ est $B$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AB = 16$ .
Relation de Chasles : $\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AD}$ .
$\overrightarrow{IC} \cdot \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD}$ .
- $\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{IA}$ sont de sens contraires, de longueur $2$ : $\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IA} = -4$ .
- $\overrightarrow{IB} \perp \overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{IA}$ : ces deux produits sont nuls.
- $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ : $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} = AD^2 = 4$ .
Donc $\overrightarrow{IC} \cdot \overrightarrow{ID} = -4 + 0 + 0 + 4 = 0$ : le triangle $CID$ est rectangle en $I$ .

Exercice 4 (4 points) — Calculs avec les normes

On sait que $\|\vec u\| = 2$ , $\|\vec v\| = 5$ et $\vec u \cdot \vec v = -5$ .

Calcule $\|\vec u + \vec v\|^2$ et $\|\vec u - \vec v\|^2$ . (2 points)
Détermine une mesure de l'angle $(\vec u, \vec v)$ . (2 points)

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$\|\vec u + \vec v\|^2 = 4 + 2 \times (-5) + 25 = 19$ ; $\|\vec u - \vec v\|^2 = 4 - 2 \times (-5) + 25 = 39$ .
$\cos(\vec u, \vec v) = \dfrac{-5}{2 \times 5} = -\dfrac12$ : l'angle mesure $120°$ , soit $\dfrac{2\pi}{3}$ rad.

Exercice 5 (2 points) — Ensemble de points

$A$ et $B$ sont deux points tels que $AB = 10$ , et $I$ est le milieu de $[AB]$ . On admet que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - 25$ pour tout point $M$ . Détermine l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 11$ .

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$MI^2 - 25 = 11 \iff MI^2 = 36 \iff MI = 6$ : l'ensemble cherché est le cercle de centre $I$ et de rayon $6$ .