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Première⏱ 5 séances

Produit scalaire

Ce que tu vas apprendre

  • Calculer un produit scalaire avec les normes et l'angle, ou par projection orthogonale
  • Caractériser l'orthogonalité de deux vecteurs par un produit scalaire nul
  • Utiliser la symétrie et la bilinéarité, développer ‖u + v‖² et ‖u − v‖²
  • Démontrer et utiliser la formule d'Al-Kashi
  • Transformer MA · MB et démontrer que l'ensemble des points M tels que MA · MB = 0 est un cercle
  • Choisir la bonne expression du produit scalaire selon les données
Notions clésproduit scalaire u · vnorme, angle de deux vecteursprojeté orthogonalvecteurs orthogonauxbilinéarité, symétrie‖u − v‖² = ‖u‖² − 2 u · v + ‖v‖²formule d'Al-Kashicercle de diamètre [AB]

Ce que tu sais déjà. Tu sais additionner des vecteurs, les multiplier par un réel et calculer une norme (Seconde — Vecteurs, Seconde — Vecteurs et coordonnées). Tu connais le cosinus d’un angle (Première — Trigonométrie) et le théorème de Pythagore (4e — Pythagore). Le déterminant de Seconde détectait les vecteurs colinéaires ; le produit scalaire va détecter les vecteurs orthogonaux, et bien plus.

1. Définition avec les normes et l’angle

Définition. Soient u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs du plan.

  • Si u⃗\vec u et v⃗\vec v sont non nuls, le produit scalaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v est le nombre réel u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗,v⃗),\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos(\vec u, \vec v), où (u⃗,v⃗)(\vec u, \vec v) désigne l’angle formé par les deux vecteurs (s’ils ont la même origine AA : u⃗=AB→\vec u = \overrightarrow{AB}, v⃗=AC→\vec v = \overrightarrow{AC}, c’est l’angle BAC^\widehat{BAC}).
  • Si l’un des deux vecteurs est nul, u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Attention. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, pas un vecteur.

Cas particulier. u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2 (angle nul, cos⁡0=1\cos 0 = 1), noté u⃗ 2\vec u^{\,2}. En particulier AB→⋅AB→=AB2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2.

Exemple. ABCABC est équilatéral de côté 44 : AB→⋅AC→=4×4×cos⁡60°=16×12=8\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \times 4 \times \cos 60° = 16 \times \dfrac12 = 8. Et AB→⋅BC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} ? Attention à l’angle : il faut placer les vecteurs à la même origine. L’angle entre AB→\overrightarrow{AB} et BC→\overrightarrow{BC} vaut 180°−60°=120°180° - 60° = 120°, donc AB→⋅BC→=16×cos⁡120°=16×(−12)=−8\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 16 \times \cos 120° = 16 \times \left(-\dfrac12\right) = -8.

Signe. Le produit scalaire est positif si l’angle est aigu, négatif s’il est obtus, nul s’il est droit.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Avec la projection orthogonale

Propriété. Soient AA, BB, CC trois points avec A≠BA \neq B, et HH le projeté orthogonal de CC sur la droite (AB)(AB). Alors

AB→⋅AC→=AB→⋅AH→={AB×AHsi AB→ et AH→ sont de meˆme sens,−AB×AHs’ils sont de sens contraires.\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont de même sens,} \\ -AB \times AH & \text{s'ils sont de sens contraires.} \end{cases}

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 H du côté de B A B C H AB · AC = AB × AH H de l'autre côté de A A B C H AB · AC = − AB × AH
On projette C sur (AB) : si H est « du côté de B », le produit scalaire vaut AB × AH ; si H est de l'autre côté de A, il vaut −AB × AH.

Justification (angle aigu). Dans le triangle AHCAHC rectangle en HH, AH=ACcos⁡BAC^AH = AC\cos\widehat{BAC}, donc AB×AH=AB×AC×cos⁡BAC^=AB→⋅AC→AB \times AH = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.

Exemple. ABCDABCD est un carré de côté 33. Le projeté de CC sur (AB)(AB) est BB, donc AB→⋅AC→=AB×AB=9\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AB = 9. De même AB→⋅CD→=−9\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -9 (vecteurs colinéaires de sens contraires : CD→=−AB→\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}).

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Orthogonalité

Définition. Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v sont orthogonaux si l’un d’eux est nul, ou si leurs directions sont perpendiculaires. On note u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v.

Propriété. u⃗⋅v⃗=0  ⟺  u⃗\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u et v⃗\vec v sont orthogonaux.

En effet, pour des vecteurs non nuls, ∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗)=0  ⟺  cos⁡(u⃗,v⃗)=0\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\vec u, \vec v) = 0 \iff \cos(\vec u, \vec v) = 0, c’est-à-dire un angle droit.

Méthode. Pour démontrer que deux droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont perpendiculaires, on montre que AB→⋅CD→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Propriétés de calcul

Propriétés (admises). Pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w et tout réel kk :

  • symétrie : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u ;
  • bilinéarité : u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w et (ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)(k\vec u) \cdot \vec v = k(\vec u \cdot \vec v).

On calcule donc « comme avec des nombres » : développer, factoriser. En particulier :

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2, \qquad \|\vec u - \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 - 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2,

(u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2.(\vec u + \vec v) \cdot (\vec u - \vec v) = \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2.

Justification de la deuxième : ∥u⃗−v⃗∥2=(u⃗−v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=u⃗⋅u⃗−u⃗⋅v⃗−v⃗⋅u⃗+v⃗⋅v⃗\|\vec u - \vec v\|^2 = (\vec u - \vec v) \cdot (\vec u - \vec v) = \vec u \cdot \vec u - \vec u \cdot \vec v - \vec v \cdot \vec u + \vec v \cdot \vec v, et par symétrie les deux termes du milieu font −2 u⃗⋅v⃗-2\,\vec u \cdot \vec v.

Conséquence : produit scalaire avec les normes seules (identités de polarisation).

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)=12(∥u⃗∥2+∥v⃗∥2−∥u⃗−v⃗∥2).\vec u \cdot \vec v = \frac12\left(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\right) = \frac12\left(\|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 - \|\vec u - \vec v\|^2\right).

Exemple. ∥u⃗∥=3\|\vec u\| = 3, ∥v⃗∥=2\|\vec v\| = 2 et ∥u⃗+v⃗∥=4\|\vec u + \vec v\| = 4 : u⃗⋅v⃗=12(16−9−4)=32\vec u \cdot \vec v = \dfrac12(16 - 9 - 4) = \dfrac32.

Avec trois points : comme BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}, on obtient AB→⋅AC→=12(AB2+AC2−BC2)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \dfrac12\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right) : le produit scalaire se calcule avec les trois longueurs du triangle.

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Formule d’Al-Kashi

Théorème (Al-Kashi). Dans un triangle ABCABC, avec a=BCa = BC, b=ACb = AC, c=ABc = AB et A^=BAC^\widehat A = \widehat{BAC} :

a2=b2+c2−2bccos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat A.

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 Formule d'Al-Kashi 60° A B C c = 5 b = 8 a = ? a² = b² + c² − 2bc cos A a² = 64 + 25 − 40 = 49 a = 7
Triangle ABC avec AB = 5, AC = 8 et un angle de 60° en A : Al-Kashi donne BC² = 25 + 64 − 40 = 49, donc BC = 7.
🧠 Démonstration (exigible au programme) — Formule d'Al-Kashi

On écrit BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} (relation de Chasles). Alors

BC2=∥AC→−AB→∥2=AC2−2 AC→⋅AB→+AB2.BC^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + AB^2.

Or AC→⋅AB→=AC×AB×cos⁡BAC^\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AC \times AB \times \cos\widehat{BAC}. Donc a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat A.

Remarque. Si A^=90°\widehat A = 90°, cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 et on retrouve le théorème de Pythagore : Al-Kashi en est une généralisation à tous les triangles.

Deux usages.

  • Connaissant deux côtés et l’angle compris, on calcule le troisième côté (exemple de la figure).
  • Connaissant les trois côtés, on calcule le cosinus d’un angle : cos⁡A^=b2+c2−a22bc\cos\widehat A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}. Exemple : AB=7AB = 7, AC=5AC = 5, BC=8BC = 8 donne cos⁡A^=25+49−6470=17\cos\widehat A = \dfrac{25 + 49 - 64}{70} = \dfrac17.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

6. Transformer MA · MB et cercle de diamètre [AB]

Propriété. Soient AA et BB deux points et II le milieu de [AB][AB]. Pour tout point MM :

MA→⋅MB→=MI2−AB24.\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}.

Justification. MA→=MI→+IA→\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} et MB→=MI→+IB→=MI→−IA→\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA} (car II est le milieu). Donc MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=MI2−IA2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}) = MI^2 - IA^2, et IA=AB2IA = \dfrac{AB}{2}.

Théorème. L’ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 est le cercle de diamètre [AB][AB].

🧠 Démonstration (exigible au programme) — Ensemble des points M tels que MA · MB = 0

D’après la propriété précédente, MA→⋅MB→=0  ⟺  MI2−AB24=0  ⟺  MI2=(AB2)2  ⟺  MI=AB2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff MI^2 - \dfrac{AB^2}{4} = 0 \iff MI^2 = \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 \iff MI = \dfrac{AB}{2} (des longueurs étant positives).

Les points MM vérifiant MI=AB2MI = \dfrac{AB}{2} sont exactement les points du cercle de centre II (milieu de [AB][AB]) et de rayon AB2\dfrac{AB}{2} : c’est le cercle de diamètre [AB][AB].

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 Cercle de diamètre [AB] M M M A B I
Pour tout point M du cercle de diamètre [AB] (autre que A et B), l'angle AMB est droit : les vecteurs MA et MB sont orthogonaux.

Conséquence. Un point MM distinct de AA et BB est sur le cercle de diamètre [AB][AB] si et seulement si le triangle AMBAMB est rectangle en MM — on retrouve la propriété vue au collège.

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

DonnéesExpression du produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
Deux longueurs et l’angleAB×AC×cos⁡BAC^AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}
Un projeté orthogonal HH de CC sur (AB)(AB)±AB×AH\pm AB \times AH
Trois longueurs12(AB2+AC2−BC2)\dfrac12\left(AB^2 + AC^2 - BC^2\right)
Coordonnées (chapitre suivant)xx′+yy′xx' + yy'
  • u⃗⋅v⃗=0  ⟺  u⃗⊥v⃗\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u \perp \vec v ; ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u \pm \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 \pm 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2.
  • Al-Kashi : a2=b2+c2−2bccos⁡A^a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat A. MA→⋅MB→=0  ⟺  M\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 \iff M sur le cercle de diamètre [AB][AB].