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Première⏱ 1 heure

Géométrie repérée : produit scalaire, vecteur normal, projeté, cercle — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Calculatrice interdite pour tout le sujet. Le plan est muni d'un repère orthonormé.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

  1. Calcule u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v pour u⃗(2 ; 3)\vec u(2\,;\,3) et v⃗(−1 ; 4)\vec v(-1\,;\,4).
  2. Calcule la norme de w⃗(3 ; −4)\vec w(3\,;\,-4).
  3. Donne un vecteur normal à la droite 5x−2y+1=05x - 2y + 1 = 0.
  4. Donne le centre et le rayon du cercle (x−1)2+(y+2)2=9(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9.
  5. Développe (x−3)2(x - 3)^2.
  6. Donne les coordonnées du milieu de [AB][AB] avec A(1 ; 2)A(1\,;\,2) et B(5 ; −4)B(5\,;\,-4).
  7. Résous 2x+1=72x + 1 = 7.
  8. Les vecteurs (1 ; 2)(1\,;\,2) et (2 ; −1)(2\,;\,-1) sont-ils orthogonaux ?
Voir le corrigé
  1. −2+12=10-2 + 12 = 10.
  2. 9+16=5\sqrt{9 + 16} = 5.
  3. (5 ; −2)(5\,;\,-2).
  4. Centre (1 ; −2)(1\,;\,-2), rayon 33.
  5. x2−6x+9x^2 - 6x + 9.
  6. (3 ; −1)(3\,;\,-1).
  7. x=3x = 3.
  8. Oui : 2−2=02 - 2 = 0.

Exercice 2 (5 points) — Triangle et cercle circonscrit

On donne A(1 ; −1)A(1\,;\,-1), B(5 ; 1)B(5\,;\,1) et C(−1 ; 3)C(-1\,;\,3).

  1. Démontre que le triangle ABCABC est rectangle en AA. (1,5 point)
  2. Justifie que le cercle circonscrit à ABCABC a pour diamètre [BC][BC] ; donne son centre et son rayon. (2 points)
  3. Donne une équation de ce cercle et vérifie que AA lui appartient. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. AB→(4 ; 2)\overrightarrow{AB}(4\,;\,2) et AC→(−2 ; 4)\overrightarrow{AC}(-2\,;\,4) : AB→⋅AC→=−8+8=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -8 + 8 = 0 : le triangle est rectangle en AA.
  2. AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 signifie que AA est sur le cercle de diamètre [BC][BC] ; ce cercle passe aussi par BB et CC : c'est le cercle circonscrit. Centre : milieu de [BC][BC], Ω(2 ; 2)\Omega(2\,;\,2). Rayon : BC2=36+42=402=10\dfrac{BC}{2} = \dfrac{\sqrt{36 + 4}}{2} = \dfrac{\sqrt{40}}{2} = \sqrt{10}.
  3. (x−2)2+(y−2)2=10(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 10. Pour AA : (1−2)2+(−1−2)2=1+9=10(1 - 2)^2 + (-1 - 2)^2 = 1 + 9 = 10 ✓.

Exercice 3 (6 points) — Projeté orthogonal

Soit dd la droite d'équation 3x−y−2=03x - y - 2 = 0 et P(−2 ; 4)P(-2\,;\,4).

  1. Donne un vecteur normal et un vecteur directeur de dd. (1 point)
  2. Détermine une équation de la perpendiculaire à dd passant par PP. (1,5 point)
  3. Détermine les coordonnées du projeté orthogonal HH de PP sur dd. (2 points)
  4. Calcule la distance du point PP à la droite dd. (1,5 point)
Voir le corrigé
  1. Vecteur normal (3 ; −1)(3\,;\,-1) ; vecteur directeur (1 ; 3)(1\,;\,3).
  2. Le vecteur directeur (1 ; 3)(1\,;\,3) de dd est normal à la perpendiculaire : x+3y+c=0x + 3y + c = 0 avec −2+12+c=0-2 + 12 + c = 0 : x+3y−10=0x + 3y - 10 = 0.
  3. De dd : y=3x−2y = 3x - 2. Dans la perpendiculaire : x+3(3x−2)−10=0  ⟺  10x−16=0  ⟺  x=85x + 3(3x - 2) - 10 = 0 \iff 10x - 16 = 0 \iff x = \dfrac85, puis y=245−2=145y = \dfrac{24}{5} - 2 = \dfrac{14}{5}. Donc H(85 ; 145)H\left(\dfrac85\,;\,\dfrac{14}{5}\right).
  4. PH→(185 ; −65)\overrightarrow{PH}\left(\dfrac{18}{5}\,;\,-\dfrac65\right) : PH=659+1=6105PH = \dfrac65\sqrt{9 + 1} = \dfrac{6\sqrt{10}}{5}.

Exercice 4 (5 points) — Cercle et tangente

Soit C\mathcal{C} l'ensemble des points M(x ; y)M(x\,;\,y) tels que x2+y2+4x−6y−12=0x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0.

  1. Montre que C\mathcal{C} est un cercle dont tu préciseras le centre Ω\Omega et le rayon. (2 points)
  2. Vérifie que le point A(1 ; 7)A(1\,;\,7) appartient à C\mathcal{C}. (1 point)
  3. Détermine une équation de la tangente à C\mathcal{C} en AA. (2 points)
Voir le corrigé
  1. (x+2)2−4+(y−3)2−9−12=0  ⟺  (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 - 4 + (y - 3)^2 - 9 - 12 = 0 \iff (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 : cercle de centre Ω(−2 ; 3)\Omega(-2\,;\,3) et de rayon 55.
  2. (1+2)2+(7−3)2=9+16=25(1 + 2)^2 + (7 - 3)^2 = 9 + 16 = 25 ✓.
  3. La tangente en AA est perpendiculaire au rayon [ΩA][\Omega A] : elle a pour vecteur normal ΩA→(3 ; 4)\overrightarrow{\Omega A}(3\,;\,4). 3x+4y+c=03x + 4y + c = 0 avec 3+28+c=03 + 28 + c = 0 : 3x+4y−31=03x + 4y - 31 = 0.