Géométrie repérée : produit scalaire, vecteur normal, projeté, cercle

Ce que tu sais déjà. En Seconde, tu as appris à calculer des coordonnées de vecteurs, des normes, et à écrire une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ à l’aide d’un vecteur directeur $(-b\,;\,a)$ (Seconde — Droites du plan). Tu connais le produit scalaire et ses propriétés (Première — Produit scalaire). On travaille dans un repère orthonormé $(O\,;\,\vec\imath,\,\vec\jmath)$.

1. Produit scalaire et coordonnées

Propriété. Dans un repère orthonormé, si $\vec u(x\,;\,y)$ et $\vec v(x'\,;\,y')$, alors

$$\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' \qquad\text{et}\qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2}.$$

Justification. Par bilinéarité, $\vec u \cdot \vec v = (x\vec\imath + y\vec\jmath) \cdot (x'\vec\imath + y'\vec\jmath) = xx'\,\vec\imath \cdot \vec\imath + (xy' + yx')\,\vec\imath \cdot \vec\jmath + yy'\,\vec\jmath \cdot \vec\jmath$. Le repère étant orthonormé, $\vec\imath \cdot \vec\imath = \vec\jmath \cdot \vec\jmath = 1$ et $\vec\imath \cdot \vec\jmath = 0$.

Conséquence (nouveau programme 2026). Les coordonnées d’un vecteur s’obtiennent par produits scalaires : si $\vec u(x\,;\,y)$, alors $x = \vec u \cdot \vec\imath$ et $y = \vec u \cdot \vec\jmath$. Géométriquement, $x$ et $y$ sont les « longueurs signées » des projections orthogonales de $\vec u$ sur les deux axes.

Exemples.

• $\vec u(3\,;\,-2)$ et $\vec v(4\,;\,6)$ : $\vec u \cdot \vec v = 12 - 12 = 0$, les vecteurs sont orthogonaux.
• $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,3)$, $C(2\,;\,-1)$ : $\overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$ et $\overrightarrow{AC}(1\,;\,-3)$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 - 3 = 0$ : le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
• Angle : $\vec u(1\,;\,2)$ et $\vec w(3\,;\,1)$ : $\vec u \cdot \vec w = 5$, $\|\vec u\| = \sqrt5$, $\|\vec w\| = \sqrt{10}$, donc $\cos(\vec u, \vec w) = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ : l’angle mesure $45°$.

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2. Vecteur normal et équation de droite

Définition. Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de $d$.

Propriété.

• La droite passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 0$.
• Une droite de vecteur normal $\vec n(a\,;\,b)$ a une équation de la forme $ax + by + c = 0$.
• Réciproquement, la droite d’équation $ax + by + c = 0$ a pour vecteur normal $\vec n(a\,;\,b)$ (et pour vecteur directeur $\vec u(-b\,;\,a)$).

Exemple. Droite passant par $A(2\,;\,-1)$ de vecteur normal $\vec n(3\,;\,4)$ : pour $M(x\,;\,y)$, $\overrightarrow{AM}(x - 2\,;\,y + 1)$ et $\overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 3(x - 2) + 4(y + 1) = 3x + 4y - 2$. Équation : $3x + 4y - 2 = 0$.

Droites perpendiculaires. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux (ou directeurs) sont orthogonaux. Astuce : un vecteur directeur de l’une est un vecteur normal de l’autre.

Exemple. Perpendiculaire à $d : 2x - y + 3 = 0$ passant par $B(1\,;\,4)$. Un vecteur directeur de $d$ est $(1\,;\,2)$ : c’est un vecteur normal de la perpendiculaire, d’équation $x + 2y + c = 0$. Elle passe par $B$ : $1 + 8 + c = 0$, $c = -9$. Réponse : $x + 2y - 9 = 0$.

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition. Le projeté orthogonal d’un point $A$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(AH) \perp d$ (si $A \in d$, alors $H = A$). La distance $AH$ est la plus courte distance de $A$ à un point de $d$ : c’est la distance du point $A$ à la droite $d$.

Distance. Ici $AH = \sqrt{\left(\dfrac{24}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{12}{5}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{720}}{5} = \dfrac{12\sqrt5}{5} \approx 5{,}37$.

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

4. Équation de cercle

Propriété. Le cercle de centre $\Omega(a\,;\,b)$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points $M(x\,;\,y)$ tels que $\Omega M = r$, c’est-à-dire :

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$

Exemple. Le cercle de centre $\Omega(2\,;\,-3)$ et de rayon $5$ a pour équation $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$, soit, en développant, $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$.

Cercle de diamètre $[AB]$. D’après le chapitre précédent, $M$ est sur ce cercle si et seulement si $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$. Avec $A(-1\,;\,2)$ et $B(3\,;\,4)$ : $(x + 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0 \iff x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0 \iff (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 5$ : centre $(1\,;\,3)$ (le milieu de $[AB]$) et rayon $\sqrt5$ (la moitié de $AB = \sqrt{20}$). ✓

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

• Repère orthonormé : $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'$ ; $x = \vec u \cdot \vec\imath$, $y = \vec u \cdot \vec\jmath$.
• $ax + by + c = 0$ : vecteur normal $(a\,;\,b)$, vecteur directeur $(-b\,;\,a)$.
• Projeté orthogonal de $A$ sur $d$ : intersection de $d$ avec la perpendiculaire à $d$ passant par $A$.
• Cercle : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ ; pour reconnaître un cercle, compléter les carrés.